Resumo Teoria Da Decisão

Universidade federal de Santa Catarina

Centro tecnológico

EPS 7009 - Teoria da decisão

Professor: Mauricio Uriona Maldonado

Grupo 3: Aline Marcon, André Azevedo, Ian Silveira e Jesué Liberato.

Resumo do capítulo 9: Crescimento em forma de S: Epidemias, difusão da inovação e do crescimento de novos produtos.

Florianópolis,04 de novembro de 2014.

Palavras-chave: Curva S, Epidemia, Difusão, Crescimento, Feedback.

Crescimento em forma de S: Epidemias, difusão da inovação e do crescimento de novos produtos

Como visto em capítulos anteriores, o feedback positivo cria um crescimento exponencial, porém não real. existe uma transição não-linear de dominação por um feedback positivo a dominância de um feedback negativo. Reflexo disso é o crescimento em forma de S, que seria um crescimento suave da população aproximando-se de um equilíbrio.

Esse é o ponto alto do capítulo 09, será examinado casos de epidemias, crescimento de mercado de novos produtos, propagação de doenças infecciosas com o intuito de mostrar como a forma S pode ser modelada.

Modelagem de crescimento em forma S

A população no modelo pode ser de qualquer quantidade desde que cresça em um ambiente fixo, exemplo disso temos o número de consumidores que adquirem um novo produto, ou o número de pessoas que contraem um vírus. A população é levada a uma situação por um feedback positivo, isso leva a uma reação de crescimento. Assim sendo, desde que haja um feedback negativo que atrase ou restrinja o crescimento de tal população, estaremos tratando de um crescimento em forma de S.

Crescimento logístico

Como estamos tratando de um crescimento não-linear e temos uma taxa de crescimento fracionado. Esse número infinito e fracionado de curvas que reagem as restrições dos feedbacks negativos, o que caracteriza o crescimento em forma de S é conhecido como o crescimento logístico.

Esse modelo é importante por vários motivos, podemos destacar que os processos de crescimento podem ser muito bem aproximados, apesar de das restrições intrínsecas ao processo. Além disso o modelo logístico pode ser resolvido analiticamente, mesmo se tratando de um modelo não-linear ele pode ser linearizado através de técnicas como a regressão dos mínimos quadrados. A figura a seguir mostra um exemplo de linearização de um modelo logístico.

Outros modelos de crescimento comum

O modelo logístico é o modelo mais amplamente utilizado de crescimento em forma de S, isso se deve à sua simplicidade e facilidade analítica, entretanto existem muitos outros modelos de crescimento em forma de S. Os modelos Richards e Weibull fornecem o modelador analítico das funções de crescimento tratáveis que podem representar uma variedade e um aumento de taxas. Não existe garantias de que os dados estarão em total conformidade com o resultado. Graças a existência de softwares pode simular computacionalmente e assim não ficar a mercê do método logístico. Pode-se especificar qualquer relação não-linear e explorar o comportamento ao longo do tempo.

Dinâmica das doenças: Modelagem das epidemias

Doenças contagiosas geralmente apresentam um comportamento do seu crescimento em forma de S. Com um exemplo de um internato inglês onde o infectado zero (primeiro infectado) passava o vírus através do contato ou pela liberação no ar em virtude da tosse ou espirro, fazia com que o vírus se propagasse lentamente. Conforme o número de infectados ia crescendo o vírus se alastrou rapidamente até chegar um ponto onde o número de pessoas suscetíveis chegou a zero, isso significou o fim da epidemia.

Um modelo simples de doenças infecciosas

trata-se de um modelo chamado de SI, esse modelo é simples por levar em consideração apenas a população total que é representa por duas variáveis: as pessoas suscetíveis a à doença e as pessoas infecciosas, daí o nome do modelo(SI). Como as pessoas suscetíveis podem passar para a categoria das infecciosas esse modelo avalia um número finito de hipóteses, isso caracteriza sua simplicidade. Como pode-se notar na figura abaixo o modelo SI tem dois circuitos principais o da direita, que é o circuito do contagio e o da esquerda, que é o circuito do esgotamento. As doenças se espalham como aqueles que são infecciosos, entram em contato e passam a doença para as pessoas sensíveis. Assim aumenta a população de infecciosas ao mesmo tempo que diminuem a população dos suscetíveis. As epidemias crescem exatamente como nesse modelo, por se tratar de ambiente fixo, ambiente com uma carga total. No modelo SI o infectado que chega a comunidade logo transmite ao suscetível que vira infectado, assim diminuindo o número de suscetíveis o que remeterá o fim do ciclo, com esses parâmetros o gráfico que representa a situação é na forma de um sino.

Modelagem aguda de infecção: Modelo SIR

Esse modelo se distingue do modelo SI por aumentar o seu número de variáveis. Diferentemente do esquema anterior o modelo SIR leva em consideração óbitos, nascimentos e migração. Ele não considera os suscetíveis apenas como indivíduos que iram de uma forma ou de outra, interagir com os infectados. Nesse novo modelo a dinamicidade entra em cena os indivíduos podem se recuperar, ir para uma quarentena, podem ser imunizados ou até morrer. Assim sendo, o modelo inclui três ações: População suscetível, população infecciosas e por fim população recuperada. Aquele que contrair a doenças se torna infeccioso durante um certo período de tempo, mas em seguida se recupera. Essa suposição gera um adicional feedback negativo do circuito de recuperação. A figura a seguir mostra exatamente como é encarado o modelo SIR.

Comportamento modelo: O tipping point

O tipping point trata o caso de que se os infecciosos forem tratado e e curados e essa taxa