Teoremas

DEFINIÇÕES, TEOREMAS E PROVAS

Uma definição explica o significado matemático de uma palavra, permitindo separar uma classe de objetos de outra. A palavra é geralmente definida em termos de propriedades. Por exemplo: (i) um inteiro é par se ele é o produto de 2 e outro inteiro, (ii) um número natural é dito ser primo se ele é maior que 1 e é divisível somente por 1 e ele mesmo.

As palavras teorema, proposição, lema e corolário denotam afirmações que são verdadeiras. Teoremas são as mais importantes afirmações matemáticas. Proposições são afirmações consideradas “menos importantes”. Por exemplo, nos teoremas abaixo, encontre as hipótese e as conclusões:

Todo número natural pode ser escrito como um produto de primos;

Existem infinitos números primos;

O número é irracional.

Obs. 1: Os melhores teoremas têm hipóteses fracas e conclusões fortes. Uma hipótese forte refere-se a um pequeno conjunto de objetos. Uma conclusão forte diz respeito a algo muito definido e preciso sobre esses objetos. Por exemplo, a hipótese de (2) é forte, pois refere-se somente ao conjunto de primos, enquanto a hipótese de (1) é fraca. Podemos enfraquecer as hipóteses do teorema (3) por investigar a raiz quadrada de números primos, digamos “Se p é primo, então é irracional.” Uma parte importante do desafio matemático é sabermos o quanto podemos enfraquecer as hipóteses. Por exemplo, se for n um número natural, a afirmação (3) é falsa.

Obs. 2: A recíproca é verdadeira? Considerar a recíproca nos força a considerar as hipóteses e conclusões e muitas vezes nos diz algo importante. Por exemplo, “se f é uma função derivável, então f é contínua”. A recíproca é verdadeira?

Um lema é uma afirmação que serve de base para provar um teorema ou uma proposição. Um corolário é uma afirmação de interesse que é deduzida (conseqüência) de um teorema ou proposição.

Uma prova é uma explanação do porque uma afirmação é verdadeira. Provas são difíceis de entender porque o trabalho inicial em geral é removido. Outra razão para os estudantes não gostarem de provas é que elas são difíceis de criar. Não existe procedimento, nem algoritmo ou mágica para criar provas. Existem técnicas que podemos empregar.

Exemplo: Sejam m e n números naturais. O produto mn é ímpar se, e somente se, m e n são ímpares.

Prova: Suponha que m e n sejam números ímpares. Então, por definição, podemos escrever e , para alguns números naturais k e j. Assim . Desde que 2kj+j+k é um número natural, temos que mn é ímpar. Reciprocamente, assuma que um dos números m ou n é par. Sem perda de generalidade podemos assumir m = 2k para algum natural k. Então temos que mn = 2kn, isto é, mn é divisível por 2 e daí é par. Logo, mn é ímpar somente se m e n são ímpares.

Ao ler uma prova (i) procure quebrar ela em pedaços (nesse caso, implicação e recíproca), (ii) identifique os métodos usados: cálculo, direto, indução, contra-positiva, contradição, casos, contra-exemplo, etc., (iii) encontre onde as hipóteses foram usadas, (iv) verifique o

texto: “sem perda de generalidade”.

Conjectura é uma afirmação que acreditamos ser verdadeira, mas não temos prova. Em matemática há uma certa confusão: por exemplo, o último teorema de Fermat que era uma conjectura é um corolário da conjectura Taniyama-Shimura, que é na verdade um teorema.

O principal propósito de uma definição é fazer com que alguém saiba o que estamos falando. Dada uma definição, necessitamos perguntar se um tal objeto existe, como eles são, se é único, se existe um número finito. Por exemplo, um número primo p é dito um primo-gêmeo se ou é primo. Assim, 5 e 7 são primos gêmeos, também são 41 e 43. Mas, existem mais? Ninguém sabe.

O MÉTODO DIRETO

O objetivo é ensinar você a ler e entender uma prova escrita por identificar a técnica que tem sido usada.

Para provar que diretamente, você prova que , que , e assim por diante, até obter . Então a hipótese que P é verdade e o uso repetido de modus ponens mostra que Q é verdade.

O método direto é o método de prova mais amplamente usado. Na prática, pode ser completamente difícil entender as várias afirmações intermediárias que permitem você proceder de P a Q. Com o objetivo de encontrar elas, a maioria dos matemáticos usam um processo chamado técnica pra frente-pra trás. Você inicia trabalhando para frente e perguntando a si mesmo: o que eu sei sobre a hipótese? Quais afirmações seguem desse fato? E assim por diante. Nesse ponto temos uma lista de afirmações implicadas por P cuja conexão com a conclusão Q ainda não está clara.

Agora trabalhamos para trás a partir de Q perguntando: Quais fatos garantem que Q é verdadeiro? Quais afirmações implicam nesses fatos? Temos agora uma lista de afirmações que implicam Q. Compare ela com a primeira lista. Se você for um felizardo, alguma afirmação estará em ambas as listas, ou mais provavelmente, existirá uma afirmação S da primeira lista e uma afirmação T da segunda lista tal que você será capaz de mostrar que . Logo, teremos que e e , donde .

Obtendo sucesso na técnica pra frente-pra trás, devemos reescrever a prova numa forma mais polida, contendo somente os fatos que são necessários na prova.

Exemplo: Se o triângulo retângulo XYZ com lados de comprimento x e y, e hipotenusa de comprimento z, tem uma área de , então o triângulo XYZ é isósceles.

Primeiro de tudo precisamos identificar o que é hipótese e o que é conclusão. Temos duas hipóteses: - o triângulo XYZ é retângulo e - sua área é . Nossa conclusão é Q - o triângulo XYZ é isósceles. Vamos começar como o processo para trás: (1) Como posso mostrar que um triângulo é isósceles? Certamente um modo é mostrar que dois de seus lados têm comprimentos iguais. Ou seja, ; (2) Como posso mostrar que dois

números reais são iguais? Mostrando que sua diferença é zero. Ou seja, . Para fazermos as perguntas corretas levamos em conta a intuição, a criatividade, a experiência, diagramas, etc. Você poderia mostrar também que dois lados de um triângulo são iguais por mostrar que os ângulos opostos são iguais. Mas um exame do conteúdo da afirmação P não parece proporcionar muita informação sobre os ângulos