Teoremas Euclidianos

Teorema poliedros de Platão.

Teorema Prismas

Teorema: todas as seções transversais de um prisma triangular são congruentes com a base.

Demonstração: na figura abaixo representamos um prisma triangular cuja base é o triângulo △ABC no plano α. Seja γ um plano paralelo a α cuja interseção com o prisma seja não vazia. Então γ corta as arestas laterais do prisma nos pontos M, N e P, como ilustrado. Como ACPM é um paralelogramo, já que AC//MP (pois α//γ) e AM//CP (pois as arestas laterais são paralelas entre si), então AC ≡ M P. Analogamente AB ≡ M N e BC≡NP. Logo, △ABC ≡ △MNP pelo critério LLL.

Teorema poliedros regulares

Teorema de Euler.

Seja P um poliedro com V vértices, A arestas e F faces. Então V-A+F=2.

Demonstração:

Seja P′ uma reunião finita de polígonos planos convexos tais que:

i) cada lado de polígono é comum no máximo a dois polígonos;

ii) havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;

iii) a interseção de dois polígonos ou é vazia ou é um vértice comum ou uma aresta comum;

iv) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).

P′ é chamado de superfície poliédrica convexa.

Por indução finita referente ao número de faces, vamos provar primeiramente que vale a relação: V ′ − A′ + F ′ = 1. Onde:

V ′ é o número de vértices,

A′ é o número de arestas e

F′ é o número de faces da superfície P′.

1) Para F′ =1.

Neste caso P′ se reduz a um polígono plano convexo, então V′ = A′. Logo, V ′ −A′ +F′ = F′ = 1, como queríamos.

2) Admitindo que V′−A′+F′ =1 vale para uma superfície poliédria convexa P′ de F′ faces (que possui V′ vértices e A′ arestas), vamos provar que também vale para uma superfície de F' + 1 faces.

Acrescentando a P′ (que é aberta) uma face de p arestas (logo p vértices) e considerando que q dessas arestas coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com Fa faces, Aa arestas e Va vértices tais que:

Fa = F ′ + 1

Aa = A′ + p − q (q arestas coincidiram)

Va = V ′ + p − (q + 1) (q arestas coincidindo, q + 1 vértices coincidem).

Formando a expressão Va − Aa + Fa e substituindo os valores acima, temos:

Va −Aa +Fa =V′ +p−(q+1)−(A′ +p−q)+(F′ +1) = V′ +p−q−1−A′ −p+q+F′ +1= V′ −A′ +F

Como Va −Aa +Fa = V′ −A′ +F′ provamos que a expressão