Atps Calculo 2

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO UNIBAN/ANHANGUERA - UNIAN

ANDRÉA ROSA DA SILVA 6810493320

JOYCE ROCHA DE OLIVEIRA 7033540358

MARCELO OLIVO SILVA - 6450315271

RONALDO CARNEIRO DA SILVA – 4412876539

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

SÃO BERNARDO DO CAMPO

2014

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO UNIBAN/ANHANGUERA

Trabalho elaborado á disciplina

de Cálculo 3, ministrado pelo

Professor Paulo Jordá, para

obtenção do grau de Bacharel

em Engenharia de Produção.

SÃO BERNARDO DO CAMPO

2014

RESUMO

O objetivo deste trabalho é mostrar para nós alunos como surgiu as integrais e quais foram as suas influencias para serem aprimoradas, até os dias de hoje.

Com isso pudemos perceber e entender melhor o que aprendemos em sala de aula, através de teoria sobre integrais definidas e indefinidas e quais foram as suas fases.

ABSTRACT

The objective of this work is to show students how we came integrals and what were your influences to be improved until the present day .

With that we could see and better understand what we have learned in the classroom , through theory of definite integrals and indefinite and what were its phases .

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

Esse trabalho tem o objetivo de aprimorar o conhecimento sobre a teoria das integrais, no trabalhamos apresentaremos como surgiu as integrais, de onde elas vieram, quais as suas referencias e quais as suas fases.

Após será mostradas através de exercícios o que foi pesquisado por cada aluno, o trabalho tem o objetivo de cada aluno conhecer a historia das integrais e porque utilizamos até os dias de hoje, e porque ela é tão importante para nós.

DESENVOLVIMENTO

ETAPA 1

Passo 1: O Surgimento das Integrais

O Calculo diferencial ou integral, também chamado de calculo infinitesimal, foi desenvolvido a partir de álgebra e da geometria, que estuda a taxa de variações de grandezas e a acumulação de quantidades, em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O Calculo foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) para auxiliar em várias áreas da ciência exatas.

Newton foi o primeiro a aplicar o calculo á física e Leibniz desenvolveu uma notação que é utilizada até hoje, ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton se especificou em resultados da tangente e quadratura no século de XVII. Segundo ele, os dois problemas mais básicos de cálculo eram: a derivada em qualquer tempo dado e integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Newton no lugar de derivadas, empregou flúxions de variáveis, denominadas por exemplo de x, em vez antiderivadas, e chamou-se de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x.

Para Leibniz as integrais, derivadas e cálculos foram desenvolvidas, a partir de analogias com somas e diferenças, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+

(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0.

O teorema de calculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas como derivadas “inversas”.

Na antiguidade, foram realizadas algumas ideias de calculo integral, embora ainda não tinham conhecimento de forma rigorosa, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscou (1850 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. O termo integral, como usamos em calculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667-1748).

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. Finalmente Riemann generalizou a definição de Cauchy da integral para funções arbitrarias no intervalo [a,b], e o limite das somas de Riemann é formulado, transformando-se então, na mais fácil definição de integral que temos hoje.

Passo 2:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: integral (a³3+3a³+3a)?

A³ 3 + 3 A³ + 3 A

3 a³+¹ 3+1 + 3 dx a³ + 3ª

3 a4 4 + 3 a-3 + 3a

a4 12 + 3 a-3+1 -3+1 + 3 ln a + C

a4 12 + 3 a-2 -2 + 3 ln a + C

a4 12 – 3 2a² + 3 ln a + C

R: A alternativa que representa a integral indefinida correta é a alternativa “B”.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’ (q)=1000+50q dólares por pés, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0)=10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) = 1000+50q

1000 dq+ 50q dq

1000 dq + 50 q dq

1000 + C + 50q22 dq

1000q+25 q2+ Cd

C0= 1000 .0+ 25 02+ C

10000=0+0+C

C=10000

Cq= 10000+1000q+25q²

R: A alternativa que expressa o custo total para se perfurar q pés, é a “A”.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo depetróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)= 16,1.e0,07t . Qual das alternativas abaixo responde corretamente aquantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Ct=16,1.e0,07t=Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.2= C2= 16,1.e0,07.4=

C2=18,52 bilhões C2=21,30 bilhões

18,52bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

R: A alternativa que responde corretamente quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994, é a “C”.

Desafio D

A aréa sob a curva y=e x2 de x=-3 a x=2 é dada por:

3^2e^(x /2)dx

2e^(2/2) -2e^(-3)/2)

2e - 2.1 /e ^(3/2 )

2.(2,7182)2.1/(2,7182)^(3/2)

5,4364 - 2.1/4,4814

5,4364 - 2.0,2231

5,4364 - 0,4462

4,99024,99

R: Alternativa correta é a A.

Passo 3: Desafio A= Alternativa B – Associado numero 3

Desafio B= Alternativa A – Associado numero 0

Desafio C= Alternativa C – Associado numero 1

Desafio D= Alternativa A - Associado numero 9

Conclusão: Nesta etapa foram desenvolvidas pesquisas, sobre o surgimento das integrais definidas e indefinidas.

Foi resolvido o desafio proposto da etapa, e ao final da resolução quando encontramos a resposta conforme o passo 3 nos pede, associamos ao Desafio A,B,C e D tendo assim o numero de 3019.

Passo 4: No desafio A do passo 2, foram feitos os cálculos para se verificar qual era a integral indefinida da função exposta, após obtivemos a resposta e associamos ao número 3 conforme o passo 3 descreve.

No desafio B foi pedido que calculássemos o custo para se perfurar um poço de petróleo, tínhamos uma integral definida, pois conhecíamos a constante, após montarmos a integral obtivemos a resposta e associamos ao número 0 conforme o passo 3 descreve.

No desafio C foi pedido que se calculasse e achasse a quantidade de quantidade de petróleo consumida entre os anos de 1992 e 1994, resolvemos a integral definida do problema e obtivemos a resposta e associamos ao número 1 conforme o passo 3.

A resposta que obtemos nos cálculos executados para o desafio D foi a alternativa (a) e associamos ela ao número 9, nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição para integração, onde chegamos ao valorfinal desejado de 4,99 correspondente a alternativa.

A sequência obtida após a associação é de 3019.

ETAPA 2: Integração por substituição, integração por partes.

Passo 1: A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis , onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Dedução da Fórmula para a Integração por Partes

Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,

Integrando ambos os lados, obtemos

ou

ou

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos abaixo a qual é chamada de fórmula de integração por partes.

(1)

Passo 2:

1 ) u = t^2 – 6t

du= 2t-6 dt

du= -2dt (-t+3) dt

du/2= (3-t).dt

Derivada (t^2-6t)^4 .(3-t).dt

Derivada u^4.du/(-2)= u^5/5 . -1/2

-u^5/10= (-t^2-6t)^5/ 10 + k

2) u= t+4

t=u-4

du=dt

Derivada o^5 (u-4.du)(4 )

2/3.(t+4).(t+4)-8.(t-4)

(2/3).9.3-8.3)-(2/3).4.2-8.2)

(54/3-24/1)-(16/3-32/1)

(54-72)/3)-(16-48)/3)

(-18)/3)-(-32)/3)

(-18)/3+32/3=14/3=4,66666  4,67

R: A Alternativa correta é a I, ambas são verdadeiras.

Passo 3:

Desafio A= Alternativa A – Associado numero 4

Passo 4: Relatório 4

Nesta etapa foram desenvolvidas as técnicas de integração por substituição e integração por partes.

Etapa 1 achamos os seguintes números:

Desafio A= Alternativa B – Associado numero 3

Desafio B= Alternativa A – Associado numero 0

Desafio C= Alternativa C – Associado numero 1

Desafio D= Alternativa A - Associado numero 9

Etapa 2 achamos o seguinte numero:

Desafio A= Alternativa A – Associado numero 4

Foi resolvido o desafio proposto da etapa, e ao final da resolução tendo assim o numero de 30194.

BIBLIOGRAFIA

http://primeiralegiao.blogspot.com.br/2012/04/historia-das-integrais-e-calculo-de.html > . Acesso em18/09/2014.

Professor Rogério, O surgimento do Cálculo Diferencial Integral, http://profrogeriomat.blogspot.com.br/2009/10/o-surgimento-do-calculo-diferencial.html >. Acesso em 18/09/2014.

Cálculo, origem Wikipédia, a enciclopédia livre, http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo >. Acesso em 18/09/2014.

Marcus Vinicius Reis Ferreira, Historia do Calculo, http://www.matematicaparaconcurso.com/site/index.php?option=com_content&view=article&id=226:historia-do-calculo&catid=62:historia-da-matematica- >. Acesso em 18/09/2014.

Hughes-Hallett/Gleason/McCallun ET AL, Matemática Aplicada I – Calculo de uma variável PLT 178 Acesso em 18/09/2014.

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/T%C3%A9cnicas_de_integra%C3%A7%C3%A3o > Acesso em 20/09/14.

http://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais2.php . > Acesso em 20/09/2014.

Matematica Pura, http://amatematicapura.blogspot.com.br/2012/11/um-resumo-de-metodos-de-integracao.html; > Acesso em 21/09/2014.