Taxas equivalentes

Taxas equivalentes

Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação.

1 = 3

3 9

prazos taxas

São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.

Por exemplo, em juros simples um capital de $ 80.000,00 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m e 9% a.t.

n = 3 meses FV (3% a.m) = 80.000,00 (1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00

FV (9% a.t) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00

n = 12 meses FV(3% a.m) = 80.000,00 (1 + 0,03 x 12) = $ 108.800,00

FV (9% a.t) = 80.000,00 (1+ 0,09 x 4 ) = $108.800, 00

E assim por diante.

Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10, 3826% ao semestre. Ilustrativamente, um capital de $100.000,00:

 Para i = 1,66% e n = 24 meses:

FV = 100.000,00(1,0166) (colocar o expoente 24) $148.457,63

 Para i = 10,3826 e n = 4 semestres:

FV = 100.000,00 (1,103826)( colocar expoente 4) = $ 148.457,63

Outra ilustração visa facilitar o melhor entendimento do conceito e cálculo de taxa equivalente de juros no regime exponencial.

Certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12%ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma aplicação de $10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de $11.200,00(10.000,00 x 1,12). Efetivamente, os 12%constituem-se na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de taxa equivalente composta.

Assim, os 12% de rendimentos do semestre determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2%conforme anunciado.

Naturalmente, ao se aplicar $10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de 1,91%ao mês, chega-se ao montante de $11.200,00.

Verifica-se, então, que o processo de descapitalização da taxa de juro no regime composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou seja, da taxa equivalente. Nesse caso, o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva de juro da operação.

Taxa nominal e taxa efetiva

A taxa de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão:

Taxa Efetiva (if)=(1+i)q-12.

Onde q representa o numero de períodos de capitalização dos juros.

Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja:

if=(1+0,038)12-1=56,44%a.a

Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizado mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização

é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses).

Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.

Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).

Ao capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo acima, tem-se:

 Taxa nominal da operação para o período= 36% ao ano

 Taxa proporcional simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês

 Taxa efetiva de juros : if(1+0,36/12)12-1= 42,6% ao ano

Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente, apura-se que a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano.

Para que 36% ao ano fossem consideradas a taxa efetiva, a formação mensal de juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:

Taxa Equivalente

mensal de 36% a.a.

Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se, evidentemente, aos 36% ao ano:

Convenciona-se neste livro que, quando houver mais de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada através da taxa proporcional. Por outro lado, quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formação dos juros) a representação da taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a expressão única “10% a.a.” indica que os juros são também capitalizados em termos anuais.

Muitas vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma operação, expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização. Por exemplo, o custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por um banco , pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o mesmo período, ou seja:

A taxa de 4,12% a.m. é nominal (linear) e equivalente a efetiva de 4,2% a.m.

Conversão