A Introdução a Modelos Lineares

Introdução a Modelos Lineares

 

Exercícios – 1 (Revisão e Introdução)

1. Conceituar e exemplificar

 

1. Matriz

Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).

A função das matrizes é relacionar dados numéricos. Por isso, o conceito de matriz não é só importante na Matemática, mas também em outras áreas já que as matrizes têm diversas aplicações.

A = ; B = ; C = .[pic 1][pic 2][pic 3]

 

1. Igualdade, adição e subtração de matrizes

Igualdade de matrizes

Matrizes que são do mesmo tipo e possuem elementos iguais.

Exemplo: Se a matriz A é igual a matriz B, então o elemento d corresponde ao elemento 4.

[pic 4]

Adição de matrizes

Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.

Exemplo: A soma entre os elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

[pic 5]

Subtração de matrizes

Uma matriz é obtida pela subtração dos elementos de matrizes de mesmo tipo.

Exemplo: A subtração entre elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

[pic 6]

Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois [pic 7].

1. Vetor

Se uma matriz mAn é tal que m = 1 ou n = 1, então

mA1 é um vetor coluna e 1An é um vetor linha.

o termo vetor estaremos nos referindo a vetor na forma de coluna e será denotado por letras minúsculas em negrito.

1. Matriz transposta

É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida.

Exemplo: Bt é a matriz transposta de B.

[pic 8]

1. Matriz quadrada

Matriz com igual número de linhas e colunas.

Exemplo: Matriz quadrada 2 x 2.

[pic 9]

1. Matriz simétrica

Se uma matriz quadrada A(n) = (aij) tem aij = aji, para todo par (i; j), então A(n) é uma matriz simétrica.

[pic 10]

1. Matriz diagonal

uma matriz diagonal é aquela em que todo elemento Aij, em que i ≠ j, é igual a zero. Essa matriz é dita triangular superior e inferior, assim como temos no exemplo a seguir:

[pic 11]
Na matriz diagonal, todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero

1. Matriz identidade

Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplo: Matriz identidade 3 x 3.

[pic 12]

1. Matriz nula

Matriz de elementos iguais a zero.

Exemplo: Matriz nula 2 x 3.

[pic 13]

1. Matriz triangular

Se os elementos que se encontram acima da diagonal principal forem iguais a zero, isto é, se for nulo todo elemento do tipo Aij, em que i < j, haverá uma matriz triangular inferior. A seguir temos um exemplo de matriz triangular inferior de ordem 4:

[pic 14]
Na matriz triangular inferior, todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero

Mas se os elementos situados abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja, se for zero todo elemento Aij, em que i > j, teremos uma matriz triangular superior. Veja a seguir o exemplo de uma matriz triangular superior do tipo 4 x 4:

[pic 15]
Na matriz triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero

1. Escalar
2. Multiplicação por um escalar

Definição: Dado um escalar _ e uma matriz mAn, define-se o produto escalar

ʎA = Aʎ, como a matriz mBn = (bij ), onde bij = ʎaij = aijʎ, 8(i; j).

Exemplo

[pic 16]

1. Multiplicação de matrizes

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou seja, [pic 17].

Exemplo: Multiplicação entre a matriz 3 x 2 e a matriz 2 x 3.

[pic 18]

1. Soma direta ⊕ 

Dadas as matrizes mAn e rBs, de_nimos sua soma direta como

[pic 19]

1. Produto de Kronecker ⊗(ou produto direto)

Definição: Dadas as matrizes mAn e rBs, de_ne-se o produto direto de A por

B como a matriz mrCns, tal que

[pic 20]

1. Dependência Linear

Definição : Os vetores [pic 21] , ... , [pic 22] de um espaço vetorial são Linearmente Dependentes