A Aproximação de Raízes

Título: Aproximação de Raízes

Guilherme Santos, Letícia Cavalcanti, Noely Glenda, Pedro Ivo e Thiago Albuquerque

Alunos da disciplina Cálculo Numérico, turma T7.

Resumo: Esse projeto foi implementado na linguagem C, no qual buscamos encontrar o zero de uma função através de métodos iterativos.

Palavras-chave: bisseção, secante, zero, função.

1. Introdução

Podemos encontrar o zero da função diretamente ou iterativamente. No caso deste projeto, aplicamos o método a partir da uma estimativa de um intervalo inicial (dado pelo usuário) no qual serão feitos cálculos sucessivos até que se chegue o mais próximo possível da raiz.

2. Desenvolvimento

Antes de aplicarmos qualquer um dos métodos, é necessário verificar se no intervalo dado realmente há uma raiz. Para isso, aplicamos o Teorema de Bolzano (1). Após confirmar que o intervalo é válido, podemos assim aplicar os métodos.

        (1)[pic 1]

2.1 Método da Bisseção

O método da bisseção consiste em fazer divisões sucessivas por dois a partir de um dado intervalo onde cada vez que dividimos esse intervalo ao meio é contado como uma iteração. Ou seja, se temos um intervalo [A,B], encontraremos o ponto médio desse intervalo e o chamaremos de C. Podemos parar por aí, ou fazer mais uma iteração, mas isso depende dos critérios de parada (2) e (3). Se (2) e (3) forem atendidos, dizemos que convergiu e C é a nossa raiz. Se não, dizemos que não convergiu e aplicamos novamente Bolzano, porém nos intervalos [A,C] e [C,B], para sabermos onde nossa raiz se encontra. Caso esteja em [A,C], fazemos B=C. Se estiver em [C,B], fazemos A=C e aplicamos o método novamente até que os critérios de parada sejam satisfeitos.

                (2)[pic 2]

                (3)[pic 3]

2.2 Método das Secantes

Nas Secantes, precisamos de duas aproximações para iniciar o método. Neste caso,  e . Inicialmente, fixamos  e  nas extremidades do intervalo [A,B] que foi dado pelo usuário. A partir daí é que aplicamos o método (4) e obtemos . Após isso, verificamos os critérios de parada (5) e (6). Se atendidos, dizemos que convergiu e  será nossa raiz. Se não, dizemos que não convergiu e partimos para a próxima iteração fazendo  e , então aplicamos o método novamente até que os critérios de parada sejam satisfeitos.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

                (4)[pic 12]

                (5)[pic 13]

                        (6)[pic 14]

3. Resultados

Podemos comparar o desempenho dos dois métodos aplicando as mesmas entradas para cada um:

• Primeira entrada: -23 -0.112 21 0.13 -0.0004 -1 1000000 0.0001 0.0001 2904 2915

[pic 15]

Figura 1: [pic 16]

[pic 17]

Figura 2: comparação dos erros da primeira entrada entre os métodos

• Bisseção: precisou de 17 iterações.
• Secantes: precisou de 5 iterações.

• Segunda entrada: 2 0.25 -1 -0.5 0.25 -1 10 0.008 0.005 -124 -118

[pic 18]

Figura 3: [pic 19]

[pic 20]

Figura 4: comparação dos erros da segunda entrada entre os métodos

• Bisseção: precisou de 10 iterações.
• Secantes: precisou de 5 iterações.

• Terceira entrada: -33 -5.5 0 -0.76 0.4 -1 1000000 0.0000001 0.0001 0 0.5

[pic 21]

Figura 5: [pic 22]

[pic 23]

Figura 6: comparação dos erros da terceira entrada entre os métodos

• Bisseção: precisou de 23 iterações.
• Secantes: precisou de 5 iterações.

Analisando os dados obtidos, pode-se notar que o método das secantes se destaca pelo baixo número de iterações necessárias para encontrar a raiz da função.