A CINEMÁTICA ROTACIONAL

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

ÉRICA mACHADO CARDOSO

GABRIELA ROMAGNA DAS NEVES

CINEMÁTICA ROTACIONAL

Tubarão, 2014

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1. Cinemática Rotacional

1.  Movimento Rotacional

Os corpos do mundo real podem ainda ser mais complexos, as forças que atuam sobre eles podem deforma-los, esticando-os, torcendo-se e comprimindo-os. No nosso estudo sobre rotação vamos desprezar essas deformações, ou seja, vamos supor que o corpo possua uma forma definida e imutável. Esse modelo de corpo ideal denomina-se corpo rígido.

 Um corpo rígido move-se em rotação pura se uma linha de referência perpendicular ao eixo descreve o mesmo ângulo que qualquer outra linha de referência perpendicular ao eixo do corpo, durante um determinado intervalo de tempo.

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 Fonte: physika.info/physika/srozane/Rotacao1.pdf

 O movimento geral de um corpo rígido inclui componentes de rotação e translação, como, por exemplo, no caso da patinadora e da roda de uma bicicleta em movimento.

 Em casos ainda mais complexos, como uma bola de futebol em vôo, pode-se ter uma combinação de movimento de translação, movimento de rotação em torno de um eixo e uma variação na direção do eixo. Em geral, a descrição tridimensional de um corpo rígido requer seis coordenadas: três para localizar o centro de massa, dois ângulos para orientar o eixo de rotação e um ângulo para descrever as rotações em torno do eixo.

1.  As Variáveis Rotacionais

 

 Desejamos examinar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Um corpo rígido é um corpo que pode girar com todas as suas partes mantidas juntas e sem qualquer mudança na sua forma. Um eixo fixo significa que a rotação se dá em torno de um eixo que não se move. Assim, não examinaremos um objeto como uma bola de boliche rolando ao longo de uma pista de boliche, pois a bola gira em torno de um eixo que se move (o movimento da bola é uma mistura de rotação com translação). Consideraremos agora, uma de cada vez, as equivalentes angulares das grandezas de posição, deslocamento, velocidade e aceleração.

   1.2.1 Posição Angular

Mostra uma linha de referência, fixa no corpo, perpendicular ao eixo de rotação, e que gira acompanhando o corpo. A posição angular desta linha é o ângulo que ela faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular nula.    

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Fonte:paginas.cav.udesc.br/a2aea/public_html/Cap5_Rotacao.pdf

Um corpo rígido de forma arbitrária em rotação pura ao redor do eixo z de um sistema de coordenadas. A posição da linha de referência em relação ao corpo rígido é arbitrária, mas é perpendicular ao eixo de rotação. Ela está fixa no corpo e gira com ele.

Na figura 1.2, a posição angular θ é medida em relação à direção positiva do eixo x. Da geometria, sabemos que θ é dado por:

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Nesta equação, s é o comprimento de arco ao longo de um círculo e entre o eixo x (a posição angular nula) e a linha de referência; r é o raio desse círculo.

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Fonte:paginas.cav.udesc.br/a2aea/public_html/Cap5_Rotacao.pdf

Uma seção transversal do corpo rígido em rotação da figura 1.1, vista de cima. O plano da seção transversal é perpendicular ao eixo de rotação, que nesta figura se estende para fora da página em direção ao leitor. Nesta posição do corpo, a linha de referência faz um ângulo θ com o eixo x.

Um ângulo definido desta forma é medido em radianos (rad) em vez de voltas (ou revoluções) ou graus. O radiano, por ser a razão entre dois comprimentos, é um número puro, portanto não possui dimensão. Como a circunferência de um círculo de raio r é 2πr, em uma volta completa há 2π radianos:

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 Não zeramos θ a cada volta completa da linha de referência em torno do eixo de rotação. Se a linha de referência completar duas voltas a partir da posição angular nula, a posição angular θ da linha será θ = 4π rad.

 Para uma translação pura ao longo da direção x, podemos saber tudo a respeito do movimento de um corpo se conhecermos x(t), sua posição em função do tempo. De modo análogo, para uma rotação pura, podemos saber tudo a respeito do movimento de um corpo em rotação se conhecermos θ(t), a posição angular da linha de referência do corpo em função do tempo.

  1.2.2 Deslocamento Angular

 Se o corpo da figura 1.2 girar em torno do eixo de rotação como na figura 1.3, variando a posição angular da linha de referência de θ1 para θ2, o corpo sofrerá um deslocamento angular ∆θ dado por:

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 Esta definição de deslocamento angular vale não apenas para o corpo rígido como um todo, mas também para cada partícula no interior desse corpo, porque as distâncias às outras partículas se mantêm inalteradas.

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Figura 1.3: A linha de referência do corpo rígido das figuras 5.1 e 5.2 está na posição angular θ1 no tempo t1 e na posição angular θ2 no tempo t2. A grandeza ∆θ (θ2 - θ1) é o deslocamento angular que ocorre durante o intervalo de tempo ∆t (t2 – t1). O próprio corpo não é mostrado.  

 Se um corpo estiver se transladando ao longo de um eixo x, seu deslocamento ∆x será  positivo ou negativo, dependendo de o corpo estar se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo. Analogamente, o deslocamento angular ∆θ de um corpo em rotação será positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra: Um deslocamento angular no sentido anti-horário é positivo, e um no sentido horário é negativo.

  1.2.3 Velocidade Angular

 Suponha que o corpo em rotação esteja na posição angular θ1 no instante t1 e na posição angular θ2 no instante t2. Definimos a velocidade angular média do corpo no intervalo de tempo ∆t de t1 para t2 como sendo: