A Dedução Camada Limite

Transferência de Calor – José Sabino e Priscilla Arouxa

Os principais parâmetros da convecção podem ser obtidos através de métodos de resolução das equações da camada limite.

[pic 1]

Para ilustrar, iremos supor o seguinte caso para o escoamento paralelo em uma placa plana:

• Escoamento laminar
• Incompressível
• Regime permanente
• Propriedades do fluido constantes
• Dissipação viscosa desprezível
• Ausência de queda de pressão [pic 2]

Nossas equações fundamentais (Continuidade, Movimento e Energia) são:

• Continuidade:

[pic 3]

[pic 4]

• Movimento (direção x):

[pic 5]

Supondo que  além do fato do componente da gravidade na direção  ser nulo:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Também supondo que a dependência de  é muito maior em relação ao eixo  do que ao eixo . Em outras palavras L >>>>  ; ou seja, comprimento da placa muito maior que a espessura da camada limite. Isso faz com que os gradientes normais à superfície do objeto sejam muito maiores do que aqueles ao longo da superfície.[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Isso ficam mais claro observando a figura abaixo:

[pic 13]

O gradiente na direção y é dado por:

[pic 14]

Já o gradiente na direção x é dado por:

[pic 15]

Como a espessura da camada limite de velocidade é pequena, temos um grande gradiente entre a velocidade próxima à placa,  , e a velocidade próxima à corrente livre, , pois a placa está estagnada (exemplo da figura) ou com velocidade diferente da corrente livre. Já na direção  a variação na velocidade não é sentida tão fortemente como na direção , fazendo com que [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

 Sendo assim, podemos dizer que:

[pic 21]

Pode-se então desprezar a derivada segunda em relação a x. Além disso, podemos acrescente a definição de viscosidade cinemática, que é dada por .[pic 22]

Então:

[pic 23]

• Energia

[pic 24]

Relembrando que supomos que a perda por dissipação viscosa é desprezível, e considerando que a espessura da camada limite de temperatura é muito menor do que o comprimento da placa:

[pic 25]

E

[pic 26]

Sendo também [pic 27]

Temos então:

[pic 28]

Definindo o coeficiente de condutividade térmica [pic 29]

[pic 30]

Em resumo:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

MÉTODO INTEGRAL DE RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE

 

Uma abordagem alternativa para a solução das equações da camada-limite envolve o uso de um método integral aproximado. Essa abordagem não possui complicações matemáticas do método exato (similaridade), porém ela pode ser utilizada para obter resultados razoavelmente precisos para os principais parâmetros da camada limite .  A ideia aqui é que não estamos muito interessados em aprender detalhes da velocidade e da temperatura na camada limite. Nosso interesse maior é nas suas inclinações na parede, que é onde podemos obter a tensão de cisalhamento, , e o fluxo de calor na parede, , utilizados para o cálculo do coeficiente de atrito e do número de Nusselt.[pic 34][pic 35][pic 36]

Para usar o método, as equações da camada limite devem ser colocadas na forma integral. Para isso, precisamos integrar as equações na direção y (onde há os maiores gradientes e onde temos a espessura da camada limite). Os limites de integração serão:  , ou seja, a integração vai da placa até o topo da camada limite. Este método transforma as equações em uma forma ordinária, muito mais simples de serem resolvidas. Apesar das equações na forma integral não nos revelar nada de novo acerca dos perfis de temperatura e velocidade, ela nos dá equações com boa precisão acerca de  e .[pic 37][pic 38][pic 39]

• Equação da continuidade

[pic 40]

[pic 41]

No lado esquerdo temos o teorema do cálculo que diz que a integral da derivada de uma função, é igual a própria função.

[pic 42]

Assim:

[pic 43]

[pic 44]

Como o fluido em contato com a placa assume a velocidade da placa (condição de não deslizamento), e ela ou está se movendo paralelamente em relação a corrente livre (na direção ) ou está parada, temos que:[pic 45]

[pic 46]

Então:

[pic 47]

• Equação do movimento

Considerando  constante:[pic 48]

[pic 49]

Ou:

[pic 50]

Analisando o lado direito, temos novamente o teorema fundamental do cálculo:

[pic 51]

Como a velocidade no topo da camada limite é máxima e sempre igual a , que é a velocidade da corrente livre (constante), pode-se dizer que:[pic 52]

[pic 53]

Assim:

[pic 54]

Agora resolvendo o segundo termo do lado esquerdo por partes, ao definirmos:

[pic 55]

Então:

[pic 56]

[pic 57]

Como já discutido anteriormente, a componente y da velocidade é nula em , fazendo com que o termo relativo ao limite inferior de integração, no primeiro termo, seja anulado, nos gerando então:[pic 58]

[pic 59]

Sabe-se que, a velocidade na direção , no topo da camada limite é igual a velocidade da corrente livre.[pic 60]

[pic 61]

E também relembrando a expressão obtida através da equação da continuidade:

[pic 62]

Temos então que:

[pic 63]

Substituindo em nossa equação integral do movimento:

[pic 64]

Novamente, segundo a equação da continuidade:

[pic 65]

Logo:

[pic 66]

Substituindo no terceiro termo:

[pic 67]

Somando o primeiro e segundo termo:

[pic 68]

Multiplicando tudo por :[pic 69]

[pic 70]

Sabendo-se que:

[pic 71]

Temos:

[pic 72]

Juntando as integrais do lado esquerdo:

[pic 73]

Ou, como  é constante:[pic 74]

[pic 75]

A soma das derivadas é igual a derivada da soma: