A Determinação da lâmina d’água em condutos circulares em regime permanente

Determinação da lâmina d’água em condutos circulares em regime permanente

Determination of water level in circular pipes in steady state

Luiz Carlos Helou – Engenheiro pela Escola Politécnica da Usp, PhD pela escola Politécnica da Usp e engenheiro do Departamento de Planejamento e Desenvolvimento Operacional da Sabesp

Resumo

A determinação da altura da lâmina d’água em canais abertos, particularmente condutos circulares, é um problema que apesar de bastante comum, não tem solução analítica explícita na grande maioria dos casos. O objetivo desse trabalho é a apresentação de uma metodologia que permite o cálculo da profundidade normal em canais de seção circular, em regime permanente uniforme, de duas formas distintas: uma numérica, iterativa e “exata”, e uma segunda explícita, de aplicação imediata, porém “aproximada”.

Abstract

The determination of the water level in circular pipes, in open channels is a problem that does not have explicit analytical solution in most cases. The objective of this work is the presentation of a methodology that allows the calculus of the normal depth in circular channel in steady state in two different ways: a numerical, iterative and "exact", and another one, that is explicit way, with immediate application, but "approximate”.

Palavras-chave: conduto circular, métodos numéricos, profundidade normal, equação polinomial.

Key-words: circular conduct, numerical methods, normal depth, polynomial equation

Introdução

A determinação do nível d’água em canais circulares em regime permanente nem sempre pode ser obtido de maneira explícita e direta, o que força a busca por soluções aproximadas ou métodos iterativos. O objetivo desse trabalho é apresentar duas maneiras distintas para o cálculo do nível d’água em canais circulares; uma iterativa e exata, e uma segunda que apesar de um grau de aproximação bastante grande, assegura a resultados consistentes.

Metodologia

Apresentam-se a seguir, duas metodologias distintas para a abordagem do problema. Uma primeira recorrendo-se ao Método de Newton-Raphson e uma segunda, da qual se lança mão de uma aproximação polinomial (de quinto grau).

1) A solução numérica, iterativa e “exata”  

O método de Newton-Raphson

É um método numérico largamente utilizado em que, basicamente, através de uma solução previamente assumida (primeira aproximação), chega-se com relativa rapidez à solução numérica do problema. Apesar de ser um método iterativo é de fácil aplicação sendo utilizado com relativa frequência em problemas de física e engenharia, onde a explicitação analítica da variável é impossível.

Assim, em geral, equações cuja variável independente x não pode ser explicitada apresentam soluções da forma:

[pic 1]                          (Equação1)

Onde, admite-se conhecida “a priori” o valor de xn, bem como as funções f e sua respectiva derivada f’ em xn. Então, a partir da solução anterior, calcula-se o valor da nova variável xn+1 e assim sucessivamente, até que a diferença entre os dois últimos valores esteja dentro de uma tolerância tida como aceitável. A convergência do método é, na maioria dos casos, bastante rápida. Nos exemplos apresentados, como estudo de caso, a tolerância atingida pelo método é bastante baixa, depois de apenas poucas iterações o que torna o método bastante atrativo do ponto de vista numérico.

Não é objeto desse estudo a análise aprofundada dessa metodologia, indicamos, porém literatura específica sobre o assunto, no final do trabalho.

A Equação de Chezy-Manning e a profundidade normal de um canal circular

A Equação de Chezy-Manning  é dada por:

[pic 2]       (Equação 2)

Q é a vazão de escoamento [pic 3]

C é o fator de resistência [pic 4]

A  é a área da seção molhada [pic 5]

[pic 6] é o raio hidráulico da seção (relação entre a área e o perímetro molhado) [pic 7]

[pic 8] é a declividade do canal [pic 9]

Para o fator de resistência C, Manning sugeriu a fórmula:

[pic 10]  (Equação3)

Onde n é o coeficiente de rugosidade que depende da natureza do leito do canal: [pic 11]

Como exemplo, seguem alguns valores do coeficiente de Manning:

Material do canal	n (s.m-1/3)
Alvenaria de pedra bruta	0,020
Alvenaria de tijolos sem revestimento	0,017
Alvenaria de tijolos revestida	0,012
Canais de terra em boas condições	0,025
Canais de terra com vegetação	0,035
Manilhas cerâmicas	0,013
Tubos de concreto	0,013
Tubos de ferro fundido	0,012
Tubos de fibrocimento	0,011
Tubos de concreto lisos	0,012

Tabela I: valores do coeficiente de Manning (Extraída de [4])

Table I : Manning coefficient’s values ​​(taken from [4])

 Aplicando a equação (3) em (2) resulta:

[pic 12]   (Equação 4)

A Seção Circular

Seja a seção circular a seguir:

[pic 13]

Fig.I – Esquema de uma seção Circular Típica

Fig.I Typical layout of a circular section

Para a seção circular valem as seguintes relações geométricas:

Para a “área molhada” A                        [pic 14]                 (Equação 5)