A Geometria Espacial

RESUMO:

Pretende-se neste trabalho acadêmico explicar o assunto de Geometria Plana, além de apresentar os conceitos, sua história, suas figuras e formulas de acordo com as figuras assim apontadas. Dentre as figuras que será demonstradas estará: primas (cubo, paralelepípedo), pirâmide, cone, cilindro e esfera.

Este estudo sobre Geometria Espacial teve como iniciativa Pitágoras e Platão com o estudo da Metafísica e da religião, contudo os estudos sobre Geometria Espacial permaneceram Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião. Contudo, foi no fim da Idade Média quando Leonardo Fibonacci escreveu sobre “Practica Geometriae”, entre 1571 até 1630, Joannes Keplers rotula o “Steomertria” (ste stereo: volume/metria: medida). Então, a partir destes estudos que conceituou-se Geometria Espacial como o estudo do espaço, possuindo então três dimensões: altura, largura e comprimento.

1. INTRODUÇÃO

        A palavra geometria vem do grego “geo” (terra) e “métron” (medir), tendo como tradução medir a terra, surgindo a partir do cotidiano das civilizações egípcia e babilônica, relacionada com o plantio, construções, movimento dos Astros e era muito utilizada para o cálculo de áreas e volumes. Já a palavra espacial refere-se a tudo que existe no espaço, ou seja, refere ao mundo em que vivemos, com suas três dimensões, ou tridimensional: altura, largura e comprimento.

        Então, geometria espacial ou geometria do espaço corresponde a uma área matemática que possui mais de duas dimensões (tridimensional) e o estudo das figuras no espaço, mas antes de tudo começou-se com elementos primitivo, não existindo uma definição precisa para eles, os elementos são:

• Ponto: é usado para representação no espaço, além de ser a base de toda geometria, ela não tem definição, dimensão ou forma, não possui medida, comprimento, altura ou largura.         

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• Reta: é o conjunto de ponto, se pode medir a distância entre dois pontos e tem uma única dimensão (unidimensional), não possui curvas ou largura. Exemplo:

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• Plano: é constituído por enfileiramento de retas e considerado dentro de um plano figuras bidimensionais, sendo assim possuem largura e comprimento.

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Logo, geometria espacial é todo o espaço que nos envolve e que segue infinitos e ilimitados pontos, tratando-se da extensão natural do plano, possuindo altura, largura e comprimento, formando assim figuras.

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        Entre as figuras geométricas são elas:

• Prisma (cubo e paralelepípedo);
• Pirâmide:
• Cone;
• Cilindro;
• Esfera.

1. DESENVOLVIMENTO

A geometria espacial iniciou com o conceito primitivo de ponto, reta e plano. Mas, logo os axiomas que são proposições, serve de base para o desenvolvimento de uma teoria tem fundamento que existem infinitos pontos, retas e planos.

Os postulados de pontos e retas, possuem: reta e pontos infinitos, onde com os pontos podem se traças infinitas retas ou por pontos distintos que passa uma única reta ou por um ponto qualquer.

Os postulados de plano e espaço, possuem:

• Por três pontos não-colineares passa um único plano;
• Em um reta pode traçar infinitos planos;
• Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi planos;
• Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi espaços.

1.  Posições relativas de duas retas

Duas retas distintas no espaço, podem ser:

Retas paralelas: pertencem ao mesmo plano e não possuem pontos em comum.

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Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem pontos em comum.

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Retas concorrentes não coplanares: não precisa ser do mesmo plano, porém tem pontos em comum.

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Retas concorrentes perpendiculares: possuem pontos em comum e formam 90°.

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Retas reversas ou não coplanares: possuem planos totalmente distintos.[pic 12]

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Postulado de Euclides ou das retas paralelas: quando se possui duas retas r e s, e o ponto P, onde o ponto P só pertence a uma única reta, portanto a reta r e s são paralelas. Exemplo:[pic 14]

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1.  Determinação de um plano

Um único plano pode passar por três pontos não-colineares, sendo assim o plano também pode ser determinado por:

• Uma reta e um ponto não pertencente precisamente a uma reta;
• Duas retas concorrentes ou paralela distintas.

1.  Posições relativas de reta e plano

1. Retas contidas no plano: se a reta tem dois pontos distintos em um plano;
2. Reta concorrente ou incidente ao plano: se a reta e o plano for concorrente ao ponto, onde a reta é reversa a todas as retas do plano e não passa pelo ponto;
3. Reta paralela ao plano: se a reta e o plano não possuem plano em comum, com isso o a reta é paralela.

1.  Perpendicularíssimo entre reta e plano

Uma reta é perpendicular, e somente se, a reta do plano for perpendicular passar pelo ponto de interseção da reta e o plano.