A Lista de Exercícios - Campos Vetoriais

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA

• Equação de Variáveis Separáveis

 É da forma [pic 4] onde[pic 5]. A solução é da forma [pic 6].

1. Resolva a equação diferencial:

1. [pic 7]
2. [pic 8]
3. [pic 9]
4. [pic 10]
5. [pic 11]
6. [pic 12] [pic 13]
7. [pic 14]

• Equação Linear de Primeira Ordem

É da forma [pic 15]. A solução é dada por [pic 16], onde [pic 17] e [pic 18], portanto [pic 19].

1. Resolva a equação diferencial:

1. [pic 20]
2. [pic 21]
3. [pic 22]
4. [pic 23]
5. [pic 24]
6. [pic 25]
7. [pic 26]
8. [pic 27]
9. [pic 28]
10. [pic 29]
11. [pic 30]

1. São dadas as seguintes informações: [pic 31]

Onde w e v são as variáveis dependentes (de y) e y é a variável independente, K e [pic 32]são constantes. Pede-se, sem resolver a equação:

1. Explicar os passos para se resolver a segunda equação e obter v=v(y)
2. Se [pic 33] explique, a partir do item a) e sem resolver a equação como se obtém a função w=w(y).

• Equação Homogênea Exata

É da forma [pic 34]. É classificada como Equação Exata, se e somente se, [pic 35]e neste caso podemos afirmar que existe função potencial [pic 36] que representa a solução desta equação e satisfaz a relação [pic 37], portanto[pic 38].

4) Resolva a equação diferencial:

a) [pic 39]

b) [pic 40]

c) [pic 41]

d) [pic 42]

e) [pic 43]

f) [pic 44]

g) [pic 45]

h) [pic 46]

• Equação Homogênea Não Exata

É da forma [pic 47]. É classificada como Equação Não Exata, se e somente se, [pic 48]e neste caso usaremos o método do fator integrante para transforma-la em uma Equação Exata e neste caso podemos afirmar que existe função potencial [pic 49] que representa a solução desta equação e satisfaz a relação [pic 50], portanto[pic 51].

1. Resolva a equação diferencial:

1. [pic 52]
2. [pic 53]
3. [pic 54]
4. [pic 55]
5. [pic 56]
6. [pic 57]

6) Resolver a equação Diferencial [pic 58]   considerando[pic 59].

7) Dada a equação [pic 60]

 a) Determine as constantes a e b para que seja diferencial exata.

 b) Obtenha a solução com a condição y(1)=0.

8) Determinar a função g(y) tal que sejam satisfeitas as duas condições a seguir:

[pic 61] 

• CAMPOS VETORIAIS

1. Dado o campo vetorial [pic 62] calcule a integral de linha entre os pontos A=(0,0) e B=(2,8) sobre os caminhos:

1. A reta que liga estes pontos;
2. A parábola [pic 63].

Verificando que a integral de linha, de forma geral, depende do caminho. Resp: a) 512  b) [pic 64]

1. Dado o campo vetorial [pic 65]calcule[pic 66]onde C consiste nos segmentos de reta de (1,0,1) a (2,3,1) e de (2,3,1) a (2,5,2).

Resp: [pic 67][pic 68]

1. Considere a trajetória fechada C formada pelos lados do triângulo ABC mostrado abaixo, calcule [pic 69]onde [pic 70]

Resp: [pic 71]

1. Calcule a integral de [pic 72] sobre a curva [pic 73] com [pic 74]. Resp: [pic 75]
2. É dado o Campo Vetorial  [pic 76]

1. Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
2. Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, a função potencial.
3. A partir dos valores a e b determinados no item a determinar a integral de linha de [pic 77] através do segmento de reta que une os pontos (0,0) ao ponto [pic 78].
4. Determinar a integral de linha ao longo da fronteira de equações [pic 79].

1. Seja [pic 80]. Pede-se:

1. Determinar o campo vetorial [pic 81] que tenha por função potencial a função [pic 82].
2. Determinar a Integral de Linha de [pic 83] ao longo da parábola [pic 84] do ponto (0,1) a (-1,0).
3. Determinar a Integral de Linha de [pic 85] ao longo do triangulo de vértices (0,1), (-1,0) e (1,4).

1. Seja[pic 86], com[pic 87] e [pic 88], um campo vetorial e [pic 89] a curva fronteira da região K, no plano Oxy, orientada no sentido anti-horário.

1. Dado o Campo Vetorial  [pic 90]

1. Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
2. Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, encontre a função potencial [pic 91] do campo [pic 92] 
3. Com os valores de a e b determinados no item (a), determine a integral de linha de [pic 93] através do segmento que une o ponto (0,0) ao ponto (0,2).

1. Calcular a integral de linha de campo [pic 94] ao longo do trecho OAB, onde o trecho AO é descrito pela parábola [pic 95] e o trecho AB é descrito pelo segmento de reta que une o ponto (1,1) ao ponto (2,2).

1. Calcule [pic 96],onde C é triangulo com vértices (0,0) (1,0) (1,2).

1. É dado o Campo Vetorial  [pic 97]

1. Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
2. Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, a função potencial.
3. A partir dos valores a e b determinados no item a determinar a integral de linha de [pic 98] através do segmento de reta que une os pontos [pic 99]ao ponto[pic 100].
4. Determinar a integral de linha ao longo da fronteira de equações [pic 101].

1. Calcular a integral de linha de campo [pic 102] sobre [pic 103].