A Resolução de EDO por Séries em Pontos Singulares

[pic 1]

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

RESOLUÇÃO DE EDO POR SÉRIES EM PONTOS SINGULARES

Professor:	Guilherme Braga de Jesus
Discentes:	Carlos Eduardo Lopes da Silva
	Daniel Cosmo de Oliveira
	Jefferson Vieira dos Santos Soares Theo Barroso De Paoli
	Vinicius Marcelino

Rio de Janeiro - RJ

Abril de 2021

Sumário

1.        INTRODUÇÃO        2

2.        DESENVOLVIMENTO        3

2.1.        PONTOS ORDINÁRIOS E SINGULARES        3

2.1.1.        PONTOS ORDINÁRIOS        4

2.1.2.        SOLUÇÃO        4

2.1.3.        PONTOS SINGULARES        5

2.1.3.1.        SINGULARIDADE REGULAR        5

2.1.3.1.1.        EXEMPLO        6

2.1.3.2.        SINGULARIDADE IRREGULAR        6

2.1.3.2.1.        EXEMPLO        7

2.2.        MÉTODO DE FROBENIUS        8

2.2.1.        EXEMPLO 1        10

2.2.2.        EXEMPLO 2        15

3.        CONCLUSÃO        18

4.        BIBLIOGRAFIA        19

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1. INTRODUÇÃO

A solução geral de uma equação diferencial linear depende da determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea. Existem vários métodos para se achar o conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial, como por exemplo o Método dos Coeficientes a Determinar, Método da Variação de Parâmetros, Método de d’Alembert e etc. Mas para algumas equações com coeficientes variáveis, é necessário estender a procura de soluções para além das funções elementares usuais do Cálculo. Para isso, há necessidade de utilizar uma importante ferramenta: representar uma dada função em série de potências. Basicamente a ideia é semelhante ao método dos coeficientes indeterminados: suponha que a solução de uma equação diferencial dada tem expansão em série de potências e, depois, é preciso tentar determinar os coeficientes de modo a satisfazer a equação diferencial.

Neste trabalho consideraremos equações diferenciais ordinárias da forma:

[pic 2]

Uma equação diferencial relativamente simples que tem um ponto singular é a equação de Euler

[pic 3]

Em que  e  são constantes reais. Nesse caso, , de modo que  é o único ponto singular regular da equação, todos os outros são pontos ordinários.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

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1. DESENVOLVIMENTO

1. PONTOS ORDINÁRIOS E SINGULARES

A característica que diferenciam os pontos ordinários dos singulares são que a as EDO's que usam series de potência em torno de pontos ordinários são solucionadas quando P(x0) ≠ 0, sendo P(x0) o coeficiente da Edo como no exemplo abaixo:

[pic 8]

Sendo assim, quando temos na nossa equação um p(x0) = 0, afirmamos que o ponto x0 é singular isso fica evidenciado no exemplo abaixo:

[pic 9]

Neste exemplo, nosso ponto x0=1 é singular seguindo esse raciocínio podemos obter mais de um ponto singular para uma edo, como neste outro exemplo:

[pic 10]

 

Para esse caso, notamos que o coeficiente  resultará numa raiz quadrada, onde teremos  e  sendo assim, os dois singulares.[pic 11][pic 12][pic 13]

Deste modo, ainda podemos destacar um caso particular, a singularidade regular. Para um ponto x0 ser singular regular os seguintes limites deverão existir

[pic 14]

Se eles existirem e forem finitos nossa singularidade será fraca.

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1.  PONTOS ORDINÁRIOS

Para um ponto  ser ordinário precisamos ter um P(x0) ≠ 0 seguindo o seguinte modelo de função[pic 15]

[pic 16]

Esse método só será valido para as EDO's com coeficientes que são funções como:

[pic 17]

Este método é valido apenas para uma série centrada em x0 ordinário.

1. SOLUÇÃO

Passo 1: Supondo que a função que estamos buscando possa ser representada como série de potencias, temos

[pic 18]

Derivaremos a nossa série até a segunda derivada

[pic 19]

Não devermos esquecer que os índices ficaram diferentes (n=1 e n=2), porque na primeira derivação eliminamos a0 do somatório e na segunda eliminamos .[pic 20]

Passo 2: Após o cálculo das derivadas é só substituir na EDO.

Passo 3: Para juntar os somatórios deixe as duas séries com a mesma potência de x.

É possível que na mudança de potência de uma série, você irá precisar mudar os índices do somatório.

Passo 4: Após colocarmos as series na mesa potência de x, e os somatórios começando no mesmo índice (caso ainda não comece pelo mesmo índice é so igualar todos os índices do somatório pelo maior e colocar para fora os termos dos índices anteriores). Após deveremos juntar tudo e colocar a potência de x em evidência igualaremos a zero a expressão que multiplica a potência de x e acharemos a relação de recorrência