AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS RELAÇÕES DE GIRARD - GABARITO

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – RELAÇÕES DE GIRARD - GABARITO

1. (AMAN-RJ)- A soma das raízes da equação x4- x3- 4x2+ 4x = 0 é igual a:

0                              1                                        - 4                                      4                                     nda

Solução. A equação é de grau 4. Logo aplicando as relações de Girard, temos que S = [pic 3]. Identificando os valores na equação vem que: [pic 4]

2. (UFPR)- A média aritmética das raízes da equação x3 - x2 - 6x = 0 é:

1                                    [pic 5]                                     [pic 6]                                        [pic 7]                           [pic 8]

Solução. A média aritmética é dada pela soma das raízes dividida pelo número de raízes, no caso igual a 3. Temos: [pic 9]

3. (CESGRANRIO-RJ)- A soma das raízes de x4 + 1 = 0 é:

1                                -1                                      0                                            i                                        -i

Solução. A equação completa seria x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1. Logo, o valor b = 0 indica que a soma das raízes é:  [pic 10]

4. (UFSE)- A soma e o produto das raízes da equação x3 + x2 - 8x - 4 = 0 são, respectivamente:

- 8 e - 4                          - 8 e 4                               - 4 e 1                             - 1 e 4                           4 e 8

Solução. Na  equação do 3º grau ax3 + bx2 + cx + d, valem as relações: [pic 11], onde x1, x2 e x3 são as raízes. Logo a soma e o produto são respectivamente: [pic 12]

 

5. (FGV-SP)- A soma e o produto das raízes da equação x4 - 5x3+ 3x2+ 4x - 6 = 0 formam qual seguinte par de valores ?

-5; 6                                      5; - 6                                   3; 4                                  1; 6                         4; 3

Solução. Na  equação do 4º grau ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, valem as relações: [pic 13], onde x1, x2 e x3 são as raízes. Logo a soma e o produto são respectivamente: [pic 14]

 

6. (PUC-PR)- Se a, b e c são raízes da equação x3- 4x2- 31x + 70 = 0, podemos afirmar que log2(a + b + c) é:

   4                                   0                             1                                     2                              nda

Solução. Aplicando as Relações de Girard para a soma das raízes da equação do 3º grau no logaritmo pedido, temos: [pic 15] 

 

7. (UNESP-SP)- Consideremos a equação x2+ ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e -5 são as raízes dessa equação, então:

    a = 1, b = 7                 a = 1, b= -20                   a = 3, b = -20                 a = -20, b = -20                   a = b = 1

Solução. Pelas Relações de Girard sabemos que [pic 16] e  [pic 17], onde a letra “a” dói denominador  é o coeficiente de x2. No caso ele vale 1. As letras “a” e “b” representam a soma e o produto. Comparando com a forma geral x2 – Sx + P = 0, concluímos que a = 1 e b = - 20.

8. (PUC-SP)- Os números complexos 1 e 2 + i são raízes do polinômio x3+ ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais. O valor de c é:

- 5                                     - 3                                     3                                      5                                   9

Solução. Um resultado importante é que se um complexo “z” é raiz de uma equação, então seu conjugado também o é. Logo as raízes do polinômio são: 1, 2 + i e 2 –  i. O valor de “c” é o termo independente que corresponde ao produto das raízes com valor negativo. Logo c = -[(1).(2 + i).(2 – i)] = -[22 – i2 ]= - 5.

9. (UFMT)- Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x3- x2 + kx + t = 0, onde k, t ∈ R.  A terceira raiz é:

-1                               [pic 18]                                       [pic 19]                                 1                                nda

Solução. Seja “z” a terceira raiz. Então a soma dessas três raízes será: (- 2) + (3) + (z) = 1 + z. Pela Relação de Girard para a equação do 3º grau, vem: [pic 20] Comparando os valores para a soma das raízes, temos: [pic 21]

 10. (UECE)- Se p e q são as raízes da equação 2x2- 6x + 7= 0, então (p + 3)(q + 3) é igual a:

[pic 22]                                       [pic 23]                                            [pic 24]                                         [pic 25]

Solução. Desenvolvendo o produto encontramos: pq + 3(p + q) + 9. O 1º e o 2º termos dessa expressão representam a soma e o produto das raízes. Pelas Relações de Girard sabemos que: