ATPS CALCULO3

INTRODUÇÃO

Conforme solicitado pelo professor Darbi, concluímos as duas primeiras etapas da ATPS da disciplina de Cálculo III.

Na Primeira etapa estudamos a utilização da teoria sobre integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Após o estudo, desenvolvemos através de um texto dissertativo os principais conceitos levantados nas pesquisas. Em seguida desenvolvemos as resoluções dos desafios A, B, C E D, propostos pela atividade.

Na segunda etapa pesquisamos em livros e na internet, informações relacionadas ao estudo de integração por substituição e por partes, fizemos um levantamento sobre o surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e relatamos as principais informações sobre integrais por partes e por substituição. Em seguida, colocamos em prática todo o assunto estudado resolvendo os exercícios propostos pelos últimos passos.

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Passo 1

1. Pesquisar informações relacionadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Ok!

2. Elaborar um texto dissertativo contendo as principais informações obtidas na pesquisa realizada no passo anterior.

3. Download do software: Geogebra. Ok!

Integrais definida, indefinidas e cálculo de áreas.

Desde a antiguidade os matemáticos se preocupam em determinar a área de uma figura plana. Matematicamente podemos dizer que a área pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de uma superfície. O método mais utilizado foi o da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com áreas já conhecidas. A partir do Teorema Fundamental do Cálculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de calcular facilmente áreas e integrais sem a necessidade de utilizar o método de limites de soma descrito matemático Riemann.

A integral indefinida é uma função ou também podemos entender como uma família de funções É a integral que consiste no processo inverso da derivação, onde uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) que estão está sempre definida sobre algum intervalo. Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i.

A integral definida teve origem com a formalização matemática dos problemas de áreas e problemas físicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida de uma função pode ser entendida como a soma de pequenos retângulo, ou subintervalos, onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retângulos resultam na sua área e que somadas em um intervalo de `a’ a `b’ resultam na área da figura plana. Uma integral definida pode ser classificada como própria ou imprópria, convergentes ou divergentes. No caso do limite do intervalo definido não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria diverge, se o limite existe e é um numero real a integral imprópria converge. Ao contrário da integral indefinida, a integral definida é um número e não depende de uma variável x.

Passo 2

Responder desafios A, B, C e D.

Desafio A.

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de ∫▒〖(a^3/3+3/a^3 +3/a) 〗 da?

f(a)=12a^4-〖3a〗^(-2)/2+ln⁡|3a|+C

f(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗

f(a)=a^4/12+2/(3a^2 )-3 ln⁡〖|a|+C〗

f(a)=12a^4+3/(2a^(-2) )+ln⁡〖|a|+C〗

f(a) = a^4+3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗

Desafio B.

Supor que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C’(0) =1000+50q, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) = 10.000 + 1.000q + 25q^2

C(q) = 10.000 + 25q + 1.000q^2

C(q) = 10.000q^2

C(q) = 10.000 + 25q^2

C(q) = 10.000q + q^2 + q^3

Desafio C.

Supor que no início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

Desafio D.

A área sob a curva y = e^(x/2) de x = -3a x = 2 é dada por:

(a)4,99 (b)3,22 (c)6,88 (d)1,11 (e)2,22