ATPS Calculo Pronto

ANHANGUERA EDUCACIONAL

ENGENHARIA CIVIL

OSASCO – SP

2013

Elabore um texto explicando a utilização da função exponencial.

Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.

A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido!

A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x.

As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.

DEFINIÇÃO

A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:

Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:

GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Função exponencial

0 < a < 1 Função exponencial

a > 1

f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

●f é injectiva

●f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferenciável em lR

●A função é estritamente decrescente.

●limx→ -∞ax= + ∞

●limx→ +∞ax = 0

●y = 0 é assimptota horizontal f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

●f é injectiva

●f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferenciável em lR

●A função é estritamente crescente.

●limx→ +∞ax= + ∞

●limx→ -∞ax = 0

●y = 0 é assimptota horizontal

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:

 axay= ax + y

 ax / ay= ax - y

 (ax) y= ax.y

 (a b)x = axbx

 (a / b)x = ax / bx

 a-x = 1 / ax

Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...)

 y = ex se, e somente se, x = ln(y)

 ln(ex) =x

 ex+y= ex.ey

 ex-y = ex/ey