ATPS de algebra

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMAS LINEARES:

(Etapa 3, passo 2)

O sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares de m incógnitas. Todos os sistemas possuem uma representação matricial, isto é constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal.

(Etapa 4 , passo 1)

Sistemas Lineares Aplicados aos Circuitos Elétricos

Usaremos essas leis e as técnicas de resolução de sistemas lineares para determinar as correntes em um circuito elétrico.

Exemplo : Determine as correntes , e no circuito elétrico abaixo:

Resolução: Pela lei dos nós, temos

No nós e . No circuito , segue da lei da voltagem que

De forma análoga, no circuito , segue desta mesma lei que

Das expressões , e , obtemos o sistema linear

Escrevendo este sistema na forma de matriz ampliada e fazendo , temos

Prosseguindo no escalonamento, dividimos por para obter

Fazendo , segue que

O último sistema está na forma escada e para resolvê-lo, fazemos as retro substituições, ou seja, da última equação,

Mas, da segunda equação segue que

O sinal negativo em , significa que a corrente flui no sentido oposto adotado inicialmente no circuito acima. Usando a primeira equação, obtemos que é igual a .

Observação 1: Se no circuito não são dados os sentidos das correntes, basta escolher aleatoriamente e após a resolução surgir alguma corrente com sinal negativo, significa que o sentido verdadeiro é o contrário ao adotado inicialmente, como ocorreu no exemplo anterior.

Exemplo Determine as correntes , e no circuito elétrico abaixo.

Resolução: No nó , temos

Usando a segunda lei de Kirchoff na malha esquerda, obtemos

Novamente, usando esta lei na malha direita, segue que

Das equações , e , obtemos o sistema linear

Neste exemplo, devido à simplicidade do sistema linear é preferível resolvê-lo diretamente por substituições. Subtraindo a terceira da segunda equação, segue que . Usando esta informação na primeira equação, conclui-se que e usando a segunda equação, .

(Etapa 5, passo 4)

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante  dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante  xi, ou seja:

xi =  xi / 

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 3

2x - y + z = 12

4x + 3y - 5z = 6

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 =  x1 /  = 120 / 24 = 5

x2 =  x2 /  = 48 / 24 = 2

x3 =  x3 /  = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}.

(Etapa 6)

Método de escalonamento (graus ou soma)

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares

2x + 3y = 10

5x - 2y = 6

5x - 2y = 6

2x + 3y = 10

são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

- um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares

3x + 2y - z = 5

2x + y + z = 7

x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 5

2x + y + z = 7

3x - 6y + 9z = 3

são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas

15x - 3y = 22

5x + 2y = 32

15x - 3y = 22

... - 9y = - 74

São obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída