ATPS regra de cadeia, derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Projeto de pesquisa: ATPS regra de cadeia, derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicos

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FAC 3

FACULDADEANHANGUERA DE CAMPINAS

Engenharia Elétrica

Engenharia de Controle e Automação

CALCULO

ATPS ETAPAS 3 E 4

Alunos: Aparecida de Santana Fonseca RA:4423737343

Série:3ª

Campinas

2014

ATIVIDADES PRÁTICAS

SUPERVISIONADAS

Engenharia Elétrica

CALCULO

ETAPA 3

_ Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas,

Derivadas Trigonométricas, Aplicações de Derivadas.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em

situações do cotidiano. No campo da engenharia, muitas são as situações em que a aplicação

da derivada para soluções de problemas que se fazem presentes. O domínio das regras

básicas e de níveis mais avançados é necessário.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia que

você e sua equipe decidem abrir. A empresa “Soy Oil”, desejando inovar, na apresentação de

sua nova linha de óleo para cozinha, contrata vocês para criarem uma nova embalagem da

lata, a qual deverá armazenar o produto. Depois de muito pensarem, vocês decidiram que a

lata deverá ser construída de forma que seja um cilindro circular reto de volume máximo que

possa ser inscrito em uma esfera de diâmetro D = 1*cm, onde D é uma dezena do intervalo

[10, 19], em que o algarismo da unidade (*) é dado pelo maior algarismo dos algarismos que

compõe os RA’s dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo é uma dupla com os

seguintes RA’s 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior algarismo presente nos RA’s

é o 7, portanto deve-se usar D = 17. Lembre-se que D = 2.R

Com base nessas informações e admitindo que 1 litro = 1 dm3, utilizando a regra do produto

para derivação, calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela

comporta. Observar a figura abaixo. Notar que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou

seja: H = 2h

Engenharia Elétrica - 2ª Série - Cálculo II

Tânia Mara Amorim Faculdade Anhanguera de Sorocaba

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Figura 1

Passo 2 (Equipe)

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1 e criar um protótipo em

tamanho real. Fazer um relatório justificando de forma positiva a utilização dessa nova

embalagem, que deverá ser apresentada a diretoria da empresa “Soy Oil”.

Passo 3 (Equipe)

Analisar o texto abaixo e responder a pergunta:

A empresa “Soy Oil” adquiriu uma nova máquina para evasão do óleo dentro das latas que

serão comercializadas. O bico da envasadura é em formato de uma pirâmide hexagonal

regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O óleo escoa por meio de

uma pequena abertura no bico da pirâmide, após a pirâmide atingir seu volume máximo.

Sabendo que o óleo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nível do óleo

estará se elevando quando atingir 20 cm de altura?

Passo 4 (Equipe)

Calcular qual é o volume máximo de óleo que cabe no bico? Qual é a velocidade com que o

nível do óleo estará se elevando quando atingir 45 cm de altura? Fazer um relatório com

todos os cálculos realizados nos quatro passos da Etapa 3, para entregar ao seu professor.

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Tânia Mara Amorim Faculdade Anhanguera de Sorocaba

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ETAPA 4 (tempo para realização: 5 horas )

_ Aula-tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da

Economia.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em

situações do cotidiano aplicadas a Indústria, Comércio e Economia. Há uma ideia errônea de

que o uso da derivada é limitado ao campo da engenharia. Economistas e administradores

também lançam mão das regras da derivação para análise das funções marginais para

tomada de decisões.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Aluno)

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço e a

Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas

respectivamente por: e , em que a

representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo,

observando o seguinte arredondamento: caso a soma dê resultado variando entre [1000 e

1500[, utilizar a = 1000; caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a =

1500; caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim

sucessivamente. Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função

Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico.

Passo 2 (Equipe)

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual

quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises, utilizando a primeira

e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes

e decrescentes.

Passo 3 (Equipe)

Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio [

] da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000

unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Passo 4 (Equipe)

Organizar todo seu material de acordo com o padrão ABNT e entregar ao seu professor.

Preparar uma apresentação em PowerPoint para que sua equipe possa apresentar os

resultados obtidos, dentro do tempo preestabelecido pelo seu professor, ou qualquer outro

critério por ele definido.

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Tânia Mara Amorim Faculdade Anhanguera de Sorocaba

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Livro Texto da disciplina:

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros

Técnicos e Científicos, 2009.

A atividade prática supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico

de ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de um conjunto de etapas

programadas e supervisionadas e que tem por objetivos:

_ Favorecer a aprendizagem.

_ Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo aprendizado eficiente e

eficaz.

_ Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.

_ Desenvolver os estudos independentes, sistemáticos e o autoaprendizado.

_ Oferecer diferentes ambientes de aprendizagem.

_ Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas pelas Diretrizes

Curriculares Nacionais dos Cursos de Graduação.

_ Promover a aplicação da teoria e conceitos para a solução de problemas

práticos relativos à profissão.

_ Direcionar o estudante para a busca do raciocínio crítico e a emancipação

intelectual.

Para atingir esses objetivos a ATPS propõe um desafio e indica os passos a

serem percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

A sua participação nessa proposta é essencial para que adquira as

competências e habilidades requeridas na sua atuação profissional.

Aproveite essa oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida

profissional.

DESAFIO

O Grande Colisor de Hádrons (em inglês: LargeHadronCollider - LHC) do CERN

(Organização Européia para Pesquisa Nuclear), é o maior acelerador de partículas e o de

maior a nossa compreensão, desde o minúsculo mundo existente dentro átomos até a vastidão do Universo. Durante os experimentos no LHC, dois feixes partículas viajam em direções opostas dentro de um anel acelerador circular, ganhando energia a cada volta. Quando esses feixesConsultar o Manual para Elaboração de Trabalhos Acadêmicos. ttp://www.unianhanguera.edu.br/anhanguera/bibliotecas/normas_bibliograficas/index.html

Adriana Delgado Engenharia Elétrica - 2ª Série - Física II de altíssimos detectores procuram responder às questões fundamentais sobre as leis da natureza. O anel acelerador localiza-se em um túnel de 27 km de comprimento, situado a mais de 100 metros de profundidade. Ele é composto por imãs supercondutores e uma série de estruturas. Traduzido e Adaptado de http://public.web.cern.ch/public/en/lhc/lhc-en.html

(Acesso em 11 de dezembro de 2010).

Com dimensões gigantescas e temperaturas extremas, operar o LHC é um desafio para

físicos e engenheiros. Para que os as partículas circulem através do anel, obtendo a energia desejada, Além disso, o LHC acelera as partículas do feixe a velocidades extremamente altas,

que podem chegar a 99,99% da velocidade da luz. Sob tais velocidades, o sistema LHC deve

ser estudado boa aproximação até um certo limite de velocidades do feixe de partículas.

Objetivo do desafio

O desafio será aplicar os conhecimentos de Física para estudar o movimento de alguns

feixes de partículas do acelerador LHC, do laboratório CERN, próximo a Genebra, no qual o

sucesso do experimento depende dos cálculos teóricos previamente efetuados.

ETAPA3

Passo 01

Determine quais seriam os valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam as velocidades: v1 = 6,00×107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50×108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97×108 m/s (99% da velocidade da luz).Atenção: Cuidado com os erros de arredondamento!

K (energia cinética) – Próton

K1 = mp.v12 => 1,673x〖10〗^(-27) * 6,00*107 = 5,019x〖10〗^(-20)

K1 => 02 02

K2 = mp.v22 => 1,673x〖10〗^(-27)* 1,50*108 = 1,252-〖10〗^(-19)

K1 => 02 02

K3 = mp.v13 = 1,673x10-27 x 2,97x108 = 2,484x10-19

K1 = 02 02

Passo 02

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10×〖10〗^(-12) J, Ec2 = 2,32×〖10〗^(-11) J e Ec3 = 9,14×〖10〗^(-10) J, respectivamente; determine qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos. O que você pode concluir?

Sabendo-se = modulo – o resultado será positivo

1º caso Erro (%) => 6,00*107 - 3,10x〖10〗^(-12)*100 = 0,0019

1º caso Erro (%) => 6,000* 3,10x〖10〗^(-12)7 - 3,10x〖10〗^(-12)

2º caso Erro (%) = 1,50*108 - 2,32x〖10〗^(-11)x100 = 0,0646

1º caso Erro (%) = 6,000* 2,32x〖10〗^(-11)7 - 3,10x〖10〗^(-12)

3º caso Erro (%) = 2,97*108 - 9,14x〖10〗^(-10)x 100 = 0,3249

1º caso Erro (%) = 6,000* 9,14x〖10〗^(-10)7 - 3,10x〖10〗^(-12)

Passo 03

Considerando uma força elétrica Fe = 1,00 N (sobre os 1×1015 prótons do feixe), na situação sem atrito, determine qual é o trabalho W realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

W = F.D

W = 1,0 * 27x〖10〗^3 = 2,7x〖10〗^19

1x〖10〗^15

Passo 04

Determine qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo 01. Determine também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5μs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.Aplicamos o teorema da energia cinética

Wxox0X1fxdx=mVb22 - mVa22

W = K (Variação energia cinética)

W = K3 – K2 (Calculado no passo 01)

2,484x〖10〗^(-19) - 1,252x〖10〗^(-19)

W = 1,232x〖10〗^(-19)

Potencia média = W

Potencia média =t

μs = 1x〖10〗^(-6) s

1,232x〖10〗^5*1x〖10〗^(-6)

= 2,464x〖10〗^14

Esta atividade é importante para que você aprenda a determinar o centro de massa de um sistema de partículas.Você deverá também usar os princípios de conservação da energia cinética e do momento linear para resolver matematicamente a colisão que ocorre entre dois feixes acelerados no LHC. As informações de massa, velocidade, momento linear e energia são importantíssimas no estudo científico.A partir do instante em que ocorre a colisão entre os dois feixes acelerados, uma série de fenômenos físicos altamente energéticos é desencadeada e, através da detecção das partículas emitidas após a colisão, os cientistas conseguem estudar a explosão inicial do Universo.

ETAPA 4

Nesse e nos próximos passos iremos trabalhar na condição em que todos os feixes possuem velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos de momento e energia, sem cometer um grande erro nos cálculos.

Passo 01

Determine a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles.

O feixe de prótons possui 1×1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3×1013 núcleos. Lembre-se que a massa de cada núcleo de chumbo vale207 vezes a massa de um próton.

Posição do centro de massa

Xcm = m1.x1 + m2.x2

Xcm = m1.m2

Quando estão separados por uma distância, escolhemos arbitrariamente com origem no eixo x, portanto a posição do centro de massa será:

Xcm =m2m1+m2 x d ( I )

Xcm =

1 núcleo Pb ______________ 207 *1,673x〖10〗^(-27) kg

3x〖10〗^13 ______________ X pb

Xpb = 3x〖10〗^13 * 207 * 1,673x〖10〗^27 kg.

Xcm = 3x〖10〗^13 * 207 * 1,673x〖10〗^(-27) x 461x〖10〗^15 x 1,673x〖10〗^(-27)+ 3x〖10〗^13 * 207 * 1,673x〖10〗^(-27)

= 28,566 m.

Passo 02

Calcule o vetor momento linear total p de cada feixe descrito no Passo 01, sendo as velocidades escalares vP = 6,00×107 m/s e vPb = 5,00×106 m/s. Em seguida calcule o valor do momento linear total P do sistema de partículas.N0 30N

Np = 6x〖10〗^7 m/s

Nn = 5x〖10〗^6 m/s

NpNn= 56 x〖10〗^7-6 =30

Po = 207mn0 - 30mn0 = 177 mn0

Passo 03

Considere agora que cada próton colide elasticamente apenas com um núcleo de chumbo, sendo a velocidade de cada um deles dada no Passo 2. Nessa condição, um cientista observou que após uma dessas colisões o núcleo de chumbo se dividiu em 03 fragmentos, tendo a primeira massa 107 vezes maior que a massa do próton e as outras duas massas iguais, de valor 50 vezes maior que a massa do próton. Os dois fragmentos menores foram observados em regiões diametralmente opostas no interior do detector ATLAS, cada um em uma direção formando um ângulo de 30 graus com a direção da reta de colisão, conforme esquematizado na figura 6. Nessas condições, determine quais são os módulos das velocidades do próton, do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo após a colisão, sabendo que o módulo da velocidade dos fragmentos menores é igual ao dobro do módulo da velocidade do fragmento maior.

300

50m

2 N f

N f m

107 m n

Pf Y = 0

Pf x = 2x50m x 2.Nf x Cos 300 + 107 mNf + mN

300

50m

2 N f

N f m

107 m n

Pf Y = 0

Pf x = 2x50m x 2.Nf x Cos 300 + 107 mNf + mN

F0Y = Pfy

P0x = Pfx de 01 e 02

177 mN0 = 200 32 mNf + 107 mNf + mN

177 N0 = (107 + 100 3) Nf + N 03

Ec = Ef

12 207 m No2 + 12 m (30N0)2 = 2 x 12 (50m) (2Nf)2 + 12 107 m Nf2 + 12 m N2

207 N02 + 900 N02 = 400 Nf2 + 107 Nf2 + N2

1107 N02 = 507 Nf2 + N2 04

03 N = 177 N0 (107+1003 ) Nf em 04

1107 N02 = 507 Nf2 + [177 N0 – (107+1003 ) X]2 / N02

X = 0,5 V 0,73 X = NfNo

Npf = 0,5 N0 V 0,73 N0 = Vpb final = 2,5x106 m/s

A velocidade do chumbo após a Colisão é: 2,5x106 m/s e a dos fragmentos menores é aproximadamente 5,0x106 m/s.

Substituindo a Vpbf (depois da colisão em 03 )

177xV0 = (107 + 100 3) vf + V / N

177 = (107 + 100 3) X + Y YNNo

Y = 177 – 53,5 – 50 3

Y = 36,9 = NN0

N = 36,9 N0 = 184,5x106 m/s

A velocidade do próton após a colisão é aproximadamente 1,8x108 m/s.

Usualmente processos onde o número de partículas muda, não devem ser feito com conservativa, porem o enunciado diz que a colisão é “elástica”, sendo que na colisão elástica o número de partículas não muda.

No passo 03, o enunciado elasticamente esta incorreto, portanto assumimos que a energia se conserva para resolver o problema.

Passo 04

Sabendo que a detecção dos fragmentos é realizada no momento em que cada um deles atravessa as paredes do detector e considerando a colisão descrita no Passo 03, determine qual é o impulso transferido à parede do detector ATLAS pelo próton P J e pelo fragmento maior de chumbo J, após a colisão.

Considere que após atravessar a parede a velocidade do próton P se tornou 10 vezes menor que e a calculada no Passo 03, enquanto a velocidade final do fragmento de chumbo Pb107 (após atravessar a parede do detector) se tornou 50 vezes menor que a calculado no Passo 03.

J = P

J = P final – P inicial

P = m.v

1,8x10850 * 177 =637,2 J

VII – Conclusão:

conseguimos assimilar melhor o conteúdo podemos entender melhor a importância do LHC o quanto ele é útil para a ciência e para humanidade, bem como o funcionaFAC 3