Algebra Linear em Engenharia
Por: marcatto97 • 19/1/2016 • Trabalho acadêmico • 11.333 Palavras (46 Páginas) • 459 Visualizações
MATRIZES
- CONCEITO
Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas.
De maneira geral, uma matriz m x n é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Representação Genérica
É comum representar uma matriz genérica indicando cada um dos seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de um índice que se refere á posição ocupada pelo elemento na matriz. Esse índice é composto por dois números: o primeiro indica a linha e o segundo indica a coluna á qual pertence o elemento.
Por exemplo, sendo A uma matriz 2 x 3 podemos representá-las do seguinte modo:
[pic 1]
Onde:
A11 (Lê-se: a um um) = elemento que está na 1° linha e 1°coluna
a12 (Lê-se: a um dois) = elemento que está na 1° linha e 2°coluna
etc.
Abreviadamente, representamos a matriz A na forma:
[pic 2]
onde fica subentendido que e .[pic 3][pic 4]
Em geral, uma matriz é indicada assim: [pic 5]
[pic 6]
- MATRIZES ESPECIAIS
- Matriz-linha
As matrizes 1 por n (1xn) chamam-se matrizes-linha. onde i=1 e [pic 7]
j Ou seja que possui apenas uma linha.[pic 8]
Exemplos:
- matriz 1 x 4 [pic 9]
- matriz 1 x 2[pic 10]
- Matriz-coluna
As matrizes m por 1 (mx1) chamam-se matrizes-coluna. onde [pic 11]
i e j =1. Ou seja que possui apenas uma coluna.[pic 12]
Exemplos:
- matriz 3 x 1[pic 13]
- matriz 1 x 4[pic 14]
- Matriz-quadrada
As matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas são denominadas matrizes quadradas.
Seja A uma matriz quadrada de ordem m; então:
[pic 15]
Nesta matriz A vamos distinguir alguns elementos e relações entre eles.
- Os elementos cujos índices das linhas é igual ao das colunas, formam a diagonal principal da matriz quadrada de A.
A diagonal Principal é formado por: (a11, a22, a33, ..., aii, ..., amm)
- Os elementos, cuja soma dos índices das linhas e das colunas é igual a ordem da matriz mais uma unidade, formam a diagonal secundária.
A diagonal secundária é formado por: (a1m, a2(m-1), a3(m-2), ..., ai(m-i+1),..., am1)
- Os pares elementos aij e aji são ditos simétricos em relação á diagonal principal.
Exemplos:
- matriz 3 x 3[pic 16]
- matriz 2 x 2[pic 17]
- Matriz-diagonal
As matrizes quadradas em que os elementos fora da diagonal(principal) são nulos, são as matrizes-diagonais.
A= diagonal ↔ [pic 18]
Exemplos:
- matriz 4 x 4[pic 19]
- matriz 2 x 2[pic 20]
- Matriz-identidade ou matriz-unidade
São matrizes escalares em que os elementos da diagonal são unitários.
A= diagonal ↔ [pic 21]
Exemplos:
- matriz identidade 3 x 3[pic 22]
- matriz identidade 2 x 2[pic 23]
- Matriz-triangular
É a matriz quadrada em que todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplos:
- matriz triangular inferior (Matriz 3 x 3)[pic 24]
- matriz triangular superior (Matriz 2 x 2)[pic 25]
- Matriz-nula
Chama-se matriz nula, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
A ≡ 0 ↔ [pic 26]
Exemplos:
- matriz triangular inferior (Matriz 3 x 3)[pic 27]
- matriz triangular superior (Matriz 2 x 2)[pic 28]
- Matriz-oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A, cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A.
[pic 29]
Observe que –A, matriz oposto da matriz A, é obtida trocando-se os sinais de todos os elementos de A.
Exemplos:
- [pic 30]
- [pic 31]
- IGUALDADE DE MATRIZES
Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo m x n, diremos que um elemento de B é o correspondente de um elemento de A quando ele ocupar, na matriz B, a mesma posição que o outro ocupa na matriz A.
Por exemplo, sendo
[pic 32]
são elementos correspondentes em A e B:
[pic 33]
Assim, são elementos correspondentes em duas matrizes do mesmo tipo aqueles que possuem o mesmo índice. Diremos que duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e tiverem todos os elementos correspondentes iguais.
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