As Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
Por: Rodrigo Benicio • 6/2/2018 • Trabalho acadêmico • 569 Palavras (3 Páginas) • 460 Visualizações
[pic 1]
Equações Diferencias Ordinárias
Aplicações de E.D. de primeira ordem
Discentes: Rodrigo Nascimento Benicio
Célio Pimenta Neto
Otávio Augusto Alves.
Orientador: Ivan Mezzomo.
Mossoró,
2018
1-Introdução.
Nessa pesquisa iremos ver como se dão as aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Veremos através do modelo de dinâmica populacional de Verhulst, que utiliza parâmetros e uma função em relação ao tempo para deduzir essa variação do crescimento ou decaimento das populações, mostraremos sua fórmula e o calculo de sua equação diferencial chegando numa função exponencial.
2-Demonstração da fórmula
O modelo de Verhulst foi criado para prever o crescimento populacional da Bélgica, disso ele percebeu que existem parâmetros (como escassez alimentícia e tamanho geográfico) que influenciam nessa dinâmica populacional, além do tempo, assim a fórmula de Verhulst, foi feita por uma equação diferencial de primeira ordem vista abaixo:
[pic 2]
Nessa Equação diferencial temos que r é encontrado por uma regressão não linear e K é o nível de saturação da população, agora veremos a transformação da equação diferencial, demonstrando a fórmula final que Verhulst criou. Primeiro a deixaremos nessa forma para aplicar as integrais.
[pic 3]
Aplicando integral dos dois lados:
[pic 4]
Do lado direito da função utilizaremos frações parciais e do lado esquerdo o resultado é dt+c.
==> [pic 5][pic 6]
==> [pic 7]
Colocamos P=0, e o valor de se torna 1, e quando P=K, então B=1/rK.
==> [pic 8][pic 9]
O resultado dessas somas de integrais será:
= = [pic 10][pic 11][pic 12]
Agora voltaremos a equação após termos os resultados das integrais:
==> [pic 13][pic 14]
Aplicando exponencial:
==> ==> [pic 15][pic 16][pic 17]
Para encontrarmos a constante C aplicaremos o tempo inicial P(0),que é diferente de K para todos os reais.
==> [pic 18][pic 19]
A população inicial chamada de P(0), podemos chama-lá também de P0, assim teremos dois formatos finais um quando P0 >K e outro quando P0
1- [pic 20]
2- [pic 21]
No caso (1) o P0
[pic 22]
=[pic 23]
3-Exemplo:
Seja P a massa total (ou biomassa), em quilogramas, da população de linguado gigante no instante t. Estima-se que os parâmetros na equação logística tenham os valores r = 0, 71 por ano e K = 80, 5×106kg. Considere a biomassa inicial Po = 0, 25kg, então para encontrar a biomassa dois anos depois?
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