As Funçoes Exponenciais

Funções Exponenciais

Toda função onde a incógnita esta no expoente é considerada uma função exponencial.
Na função exponencial temos, f(x)=a^x, tal que f:IR=IR (reais positivos);
onde o número a é chamado de base da função e x o expoente.
A função exponencial  pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a>1, a função é crescente; caso 0  a função é decrescente.
Podemos usar a função exponencial em quase todas as áreas do conhecimento, desde o fator de crescimento de uma população, o crescimento de bactérias em um determinado período, onde fazer investimentos financeiros com melhor percentual de retorno, até cálculos complexos na informática e matemática com as curvas exponenciais.

Propriedades das potências

Considerando a, b, m, n ≠ 0

• a^m= a.a.a.a.a.a.....
• a^0= 1
• a^1= a
• a^m . a^n= a^m+n
• a^m/a^n= a^m-n
• (a^m)^n= a^m.n
• (a.b)m= a^m.a^n
• (a/b)^m= a^m/a^n
• a^-1= 1/a
• a^-n= 1/a^n
• (a/b)^-1= b/a
• (a/b)^-n= b^n/a^n
• n√a^m= a^m/n

Gráficos da função exponencial

f:IR=IR onde a>1
f(x)=a^x

[pic 1]
(fonte: http://www.estudofacil.com.br/funcao-exponencial-graficos-e-exemplos/)

f:IR=IR onde 0f(x)=a^x

[pic 2]
(fonte: http://www.estudofacil.com.br/funcao-exponencial-graficos-e-exemplos/)

Exemplo:

(Mackenzie 2003) O gráfico abaixo mostra a evolução do número de bactérias em uma certa cultura em função do tempo. Analisando o gráfico, determine após 30 minutos, qual o número aproximado de bactérias?

[pic 3]
(fonte: http://www.diadematematica.com/vestibular/TEMP/FUNC_EXP/E6325.BMP)

f(t) = a.b^t
f(0) = a.b^0
10^4 = a.1
a = 10^4

f(t) = a.b^t
f(3) = 10^4.b^3
8.10^4 = 10^4.b^3
b^3 = 8.10^4/10^4
b = 3√8 (raiz cúbica de 8)
b = 2




30 minutos = 1/2 de hora

f(t) = 10^4.2^t

f(0,5) = 10^4.2^(0,5)
f(0,5) =~10 000 . 1,4 
f(0,5) =~14 000 

Resposta: Após 30 minutos teremos aproximadamente 14000 bacterias.

Bibliografia

HUGHES-HALLET, Deborah et al. Cáculo de uma variável. 3 ed. Rio de Janeiro: GEN LTC 2011 (PLT 178)

http://www.diadematematica.com/vestibular/conteudo/FUNC_EXP.htm

http://www.estudofacil.com.br/funcao-exponencial-graficos-e-exemplos/

https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial