As Tensões Principais

[pic 1]

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

MYLENA FERREIRA MARTINS

TENSÕES PRINCIPAIS

Sete Lagoas – MG Setembro – 2020

TENSÕES PRINCIPAIS

Trabalho apresentado como requisito para obtenção de créditos na disciplina Análise Estrutural, no curso de Engenharia Mecânica – 10º Período da Faculdade Ciências da Vida.

Orientador: Leandro Nunes.

Sete Lagoas – MG Setembro – 2020

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO.        03
2. ESFORÇOS COMBINADOS E O ESTADO PLANO DAS TENSÕES        04
3. TRASNFORMAÇÕES DE TENSÕES        05
4. TENSÕES PRINCIPAIS        06

1. FORMULA DAS TENSOES PRINCIPAIS        06
2. TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA.        09

1. CIRCULO DE MOHR        10
2. EXERCICIOS RESOLVIDOS        13
3. EXERCICIOS PROPOSTOS        24
4. REFERENCIAS        27

1. INTRODUÇÃO

Existem três planos independentes no espaço (XY, XZ e YZ) ao redor de um ponto. Como existem 3 componentes em cada plano, então existirão 3x3=9 componentes de tensão. Por condições de equilíbrio, os seis componentes de tensão de cisalhamento devem ser iguais dois a dois para que o corpo permaneça em repouso.[pic 2]

Figura 1 - Representação do estado geral de tensões.

O estado geral de tensão não é comum em engenharia. Dessa forma, engenheiros fazem simplificações e tornam este estado em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com três componentes (2 normais e 1 cisalhante).

[pic 3]

Figura 2 – Estado plano de tensão, visão bidimensional.

Quando essas componentes normais, ou tensões normais são máxima e mínima, dizemos que elas são as tensões principais. Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de cisalhamento é nula.

Antes de entendermos mais a fundo sobre o estudo das tensões principais, é necessário rever rapidamente alguns conceitos sobre os esforços combinados e estado plano das tensões bem como transformações de tensões. Por fim, é importante apresentar também sobre o círculo de Mohr, um método gráfico simples para resolver problemas de estado plano de tensão.

1. Esforços Combinados e o Estado Plano das Tensões

Para compreender como são as tensões que atuam em um determinado ponto “H”, devemos imaginar esse ponto como um quadrado muito pequeno:

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Em seguida é necessário calcular as tensões causadas pelos esforços internos N, V, M e T nesse ponto. Após os cálculos, observa-se as direções com que essas tensões atuam no “quadrado” H:[pic 5]

Em seguida é necessário equilibrar essas tensões com as tensões correspondentes nas outras faces do quadrado:[pic 6]

Feito isso, agora comparamos o estado plano de tensões desse ponto (desenho acima) com o estado geral do plano de tensão (desenho abaixo):[pic 7]

Com isso conseguimos definir as tensões σx, σy e τxy nesse ponto:

σx = -10 MPa; σy = 0 e τxy = 25 MPa

1. Transformações de Tensões

Para determinar as tensões em um certo plano inclinado que atravessa um ponto devemos:[pic 8]

1. Definir os eixos x e y e as tensões σx, σy e τxy nesse ponto;
2. Em seguida rotacionar esses eixos por um ângulo θ (positivo no sentido anti-horário), buscando um ângulo que faça com que uma das faces do elemento rotacionado fique paralela ao plano inclinado:

[pic 9]

1. Por fim calcular as tensões σx’, σy’ e τx’y’ nesse elemento rotacionado usando as formulas:

[pic 10]

1. Feito isso, as tensões no plano inclinado vão corresponder ás tensões

σ e τ na face do elemento rotacionado que for paralela ao plano.

1. Tensões Principais

Vimos anteriormente como definir um estado plano de tensões e como utilizar a transformação de tensões para descobrir as tensões σx’, σy’ e τx’y’ em um elemento caso ele fosse rotacionado por um ângulo θ.

Utilizando as equações da transformação de tensões, ao relacionarmos um elemento, encontraremos outras tensões normais σx’ e σy’ que podem ter uma intensidade ainda maior que as tensões normais σx e σy originais. Então, qual seria a tensão normal de maior intensidade naquele ponto do elemento? Para responder essa pergunta faz-se necessário o estudo das equações de transformações de tensões.