Atps Algebra

[pic 1]

UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP

Curso de Matemática

EMILIA ZARZENON

MICHAEL GOIS RODRIGUES DE PAULA

RODRIGO SILVA DE PAULA

ROSANE BARBOSA

ÁLGEBRA

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 EMILIA ZARZENON, RA: 6061447742

MICHAEL GOIS RODRIGUES DE PAULA, RA: 1299518057

RODRIGO SILVA DE PAULA, RA: 6023419253

ROSANE BARBOSA, RA: 6020401243

ÁLGEBRA

Trabalho da 1ª etapa apresentado junto ao curso de Matemática da Universidade Anhanguera-Uniderp, com requisito parcial de nota, turma N30, sob a orientação do Professor Adriano.

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SUMÁRIO [pic 2]

INTRODUÇÃO        

1.         GRUPO        

1.1.        GRUPO FINITO        

1.2.        GRUPO INFINITO        

2.        PROPRIEDADES DE UM GRUPO        

2.1.        GRUPO FINITO        

2.2.        ELEMENTO SIMÉTRICO        

2.3.        TODO ELEMENTO DE G É REGULAR        

3.        SUBGRUPOS        

4.        GRUPOS CÍCLICOS        

5.        GRUPO ABELIANO        

5.1.        CONCEITOS        

6.        ANÉIS        

CONSIDERAÇÕES FINAIS        

REFERÊNCIAS        

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INTRODUÇÃO

Este trabalho apresentara a primeira etapa da Atps de Álgebra, um texto definindo os conceitos de grupo, grupos abelianos, grupos finitos e anéis.

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1.  GRUPO[pic 3]

 

Grupo é uma estrutura algébrica formada por um conjunto G diferente do conjunto vazio e uma operação (*) para generalizar uma operação interna em G.

(G,*) , G≠Ø

* - operação interna em G

Quando essa operação é associativa, admite elemento neutro e todo elemento tem simétrico, dizemos que é um Grupo. Se essa operação for comutativa tem-se um grupo abeliano.

1. GRUPO FINITO

Quando G é um grupo finito, significa que ele tem uma quantidade determinada de elementos (G tem n elementos).

. Representação: |G| = n, diz-se ordem do grupo G igual a n.

1. GRUPO INFINITO

Quando G é um grupo infinito, significa que ele tem infinitos elementos.

Representação: |G| = ∞, diz-se ordem do grupo G é infinito.

1. PROPRIEDADES DE UM GRUPO

1. GRUPO FINITO

O Grupo G admite elemento neutro e, que é único.

e * x = x = e * x, ∀  x ∊ G

1. ELEMENTO SIMÉTRICO

Todo elemento de G admite simétrico (x`).

x ∊ G ⟶ ∃ x` ∊ G : x * x`= e = x`* x

1. TODO ELEMENTO DE G É REGULAR

x ∊ G ⟶ x é regular.

Seja a,b ∊ G: a ≠ b

x * a ≠ x* b

1. SUBGRUPOS

Seja (G,*) um grupo. Dizemos que H ´e um subgrupo de G e denotamos H ≤ G quando o conjunto H é um subconjunto não vazio de G que é também um grupo com *, ou seja, quando as condições

abaixo são satisfeitas:

1. ∀h, g ∈ H, h ∗ g ∈ H
2. ∃e ∈ H tal que e * a = a * e = a, ∀ a ∈ G.
3. ∀ a ∈ H, ∃ a’ ∈ H, tal que, a * a’ = a’ * a = e, onde e é o elemento neutro.

1. GRUPOS CÍCLICOS

Um grupo diz-se cíclico se for gerado por um único elemento, ou seja, se existe um elemento a ∊ G tal que o grupo G coincide com o subgrupo gerado pelo elemento a.

        ∃ a ∈ G tal que G = = {x= am; m ∈ Z).

Se a ∈ G é um gerador do grupo cíclico G, então seu simétrico a` é também gerador de G.

Todo grupo cíclico é abeliano.

1. GRUPO ABELIANO

Um grupo G é chamado de grupo abeliano (ou, grupo comutativo) se a . b = b . a para todo a, b ∈ G.

Observe que se G é um grupo abeliano, então (a . b) –1 = a–1 . b–1.

1. CONCEITOS

Todas as construções usadas neste campo são relevantes, tais como sequências exatas, e especialmente sequências exatas curtas, e functores derivados.

Teoremas importantes que aplicam-se em todas as categorias abelianas incluem o lema cinco (e o lema cinco curto como um caso especial), assim como o lema da cobra (e o lema nove como um caso especial).

1. ANÉIS

As mais importantes estruturas algébricas com duas composições internas, são os

chamados anéis:

II.4.1 Definição.

Uma estrutura algébrica com duas composições internas (A; + , . )é denominada

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