Atps Calculo 3

Engenharia Mecânica.

ATPS

Atividade Prática Supervisionada.

Cálculo III

Etapas: 1° e 2°.

SANTO ANDRÉ

2013

CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE SANTO ANDRÉ.

Curso: Engenharia Mecânica.

(Atps) Atividade Prática Supervisionada.

Disciplina: Cálculo III

Etapas: 1° e 2°.

Professor: Crubellati

Alunos responsáveis pela ATPS:

SANTO ANDRÉ

2013

1° Etapa-Passo1.

Aula Tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

História e Conceitos da Integral Definida, Indefinida e calculo de área:

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas regiões que se assemelham com a lua no seu quarto crescente foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C. , que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequencia nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida (geometria indivisibilibus continuorum), Cavalieri desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos “indivisíveis”.

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Issac Newton (1642-1727), e Wilhelm Leibniz (1646 –1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de ideias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada eram da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria Heliocêntrica de Copérnico (1473 –1543). O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi à percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva sendo a definição de integrais muito abstrata e não é um instrumento adequado para calcular integrais, razão pela qual o cálculo de integrais geralmente é feito mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, que só o nome já diz sobre a importância do mesmo.

Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.

Os avanços no calculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos métodos de exaustão e compressão para efetuar cálculos de áreas delimitadas por curvas.

Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de outra função, conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano. Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo as integrais foram simplesmente vistas como derivadas “reversas”. Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processo sistemáticos para integrar toda derivada e a integral definida exprime-se em termos de certos processos de limites. A noção de limite é a ideia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da matemática. Issac Newton (1642-1727) e Gotfried Wilhelm, Leibniz (1646 –1716), descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disso, e de suas outras contribuições para o assunto