CÔNICAS E HIPÉRBULES

Tema

Paraboloide

Paraboloide

Equação geral do 2º grau

As quádricas são superfícies dadas pela equação:

ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + mx + ny + pz + q = 0

O estudo que se segue procura estabelecer um método para se determinar, a partir de uma equação dada, qual é a quádrica em questão, não fazendo uso de fórmulas ou relações entre os coeficientes da equação, mas pela análise de traços e curvas de nível.

Paraboloide

As quádricas denominadas de paraboloides são assim chamadas porque podem ser obtidas a partir da rotação de uma parábola em torno de seu próprio eixo.

Acompanhe os exemplos a seguir:

Exemplo 1: classifique a quádrica dada por z – x² – y² = 0

Em um primeiro passo, determine as interseções da superfície dada por z - x² – y²= 0 com os planos coordenados: xy, xz e yz.

Traço xy: como o plano coordenado xy é caracterizado pela equação z = 0 (em caso de dúvida, revise a aula teórica 4 em que foram estudados os planos e suas equações) e pretende-se obter a interseção entre esse plano e a superfície em questão, deve-se resolver o seguinte sistema de equações:

Na prática, para resolver esse sistema e nos demais traços, o processo será análogo: basta que se substitua z = 0 na equação dada:

0 - x2 - y2 = 0

-x2 - y2 = 0 (÷ -1)

x2 + y2 = 0

Deve-se, agora, identificar a cônica dada pela equação encontrada. A equação está no formato da equação reduzida de uma circunferência: (x – x0)² + (y – y0)² = R², sendo x0 = y0 = 0 e R = 0. Mas, como o raio é nulo, trata-se de uma circunferência degenerada, ou seja, a equação representa somente um ponto no plano cartesiano: o ponto que seria o centro da circunferência caso o raio encontrado fosse um número real positivo, o ponto (0,0).

raço xz: como o plano coordenado xz é caracterizado pela equação y = 0, deve-se resolver o sistema de equações:

E então:

z - x2 - 0 = 0

z - x2 = 0

z = x2

A cônica dada pela equação encontrada é:

1. Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau);

2. Possui abertura para cima (coeficiente de x² é positivo);

3. Possui vértice em (0,0) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 4;

4. Tangencia o eixo x na origem.

5.

6. Traço yz: como o plano coordenado yz é caracterizado pela equação x = 0, deve-se resolver o sistema de equações:

7.

E então:

A equação encontrada é análoga à do traço xz, apenas diferindo pelo “nome” da incógnita, aqui y e lá x. Portanto, trata-se da mesma cônica obtida no traço xz:

1. Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau);

2. Possui abertura para cima (coeficiente de y² é positivo);

3. Possui vértice em (0,0) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 4;

4. Tangencia o eixo y na origem.

A quádrica dada por z - x² - y² = 0 é um paraboloide cujo eixo central é o eixo z:

Vale ressaltar que se representou na imagem acima somente uma parte do paraboloide, visto que sua superfície é ilimitada (pois prossegue para alturas cada vez maiores em z).

Como as curvas dadas pelos traços xz e yz são idênticas, esse paraboloide é circular, característica que pode ser percebida pela análise das curvas de nível.

Uma curva de nível “k”, denotada por Ck, é a projeção da curva dada pela interseção do plano z = k com a superfície – nesse caso, o paraboloide. A seguir, observe alguns exemplos de curvas de nível do paraboloide em questão:

C0 : 0 - x² - y² = 0 → x² + y² = 0 → traço xy: ponto (0,0)

C1 : 1 - x² - y² = 0 → x² + y² = 1 → circunferência de centro em (0,0) e raio 1

C2 : 2 - x² - y² = 0 → x² + y² = 2 → circunferência de centro em (0,0) e raio √2

C3 : 3 - x² - y² = 0 → x² + y² = 3 → circunferência de centro em (0,0) e raio √3

C4 : 4 - x² - y² = 0 → x² + y² = 4 → circunferência de centro em (0,0) e raio 2

Representação geométrica das