Calculo 3 etapas 1 e 2

 ANHANGUERA EDUCACIONAL

                

Engenharia Civil - Cálculo III

        

Prof. Marcos Cunha

NOME: Bárbara Varjão Santana                                RA: 9094469213

NOME: Evandro Ap. Gomides                                  RA: 9299543842

NOME: Jose Carlos Bohac Junior                             RA: 8879425354

NOME: Marcos V. Fernandes Silva                           RA: 9871530579

NOME: Rafaelle C. Cantoia                                       RA: 8818355762

Ribeirão Preto – SP

Setembro de 2015

Sumário

Introdução3

Etapa 14

Passo 14

Passo 26

Passo 38

    Passo 49

Etapa212

Passo 112

    Passo 212

    Passo 3 13

    Passo 413

        

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Introdução

Neste trabalho, conforme solicitado na primeira etapa, estudamos os conceitos sobre integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas; pesquisamos sobre a história das integrais e realizamos um texto dissertativo. Analisamos e desenvolvemos os desafios A, B, C e D, e associamos os números correspondentes a cada resposta.
Já na segunda etapa, pesquisamos sobre integração por partes e substituição e fizemos um levantamento sobre o surgimento das técnicas de integração. Observamos e resolvemos as igualdades propostas e também atribuímos os números a cada resposta.

Integral definida. Integral indefinida

Etapa 1

Passo 1

Façam as atividades representadas a seguir:
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e a utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.
2. Façam um levantamento sobre a historia das integrais e elaborarem um texto dissertativo, contendo as principais informações obtidas na pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
3. Façam o Download do software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns passos dessa etapa.

Integrais indefinidas, definidas e cálculos de áreas

Os primeiros problemas que surgiram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura e cubatura, processos de determinar áreas e volumes exatos, respectivamente.
Historicamente, Hipócrates de Chios (440 a.C.) executou as primeiras quadraturas da História. No entanto, uma das maiores contribuições gregas para o cálculo surgiu por volta do ano 225a.C. com o teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes também realizou outras “integrações” para encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, volume do cone e a área da superfície cônica, entre outras.
A próxima contribuição para o Cálculo Integral apareceu no final do século XVI, quando a Mecânica fez com que vários matemáticos examinassem problemas relacionados com o centro de gravidade. 
Outra contribuição foi feita por Isaac Newton em seu último trabalho sobre cálculo, e também o primeiro a ser publicado (“On the Quadrature of Curves”), onde montou uma tabela extensa de integrais de funções algébricas complicadas, e para curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema fundamental de Cálculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas até os dias atuais, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.
Newton representava as integrais através de um acento grave em cima da letra, exemplo, a integral de t era representada por `t.
Newton tinha uma ideia imperfeita de limites, e ninguém nos séculos 18 e 19  teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. Aproximadamente ao mesmo tempo em que a tabela de integrais de Newton tinha sido publicada, Johann Bernoulli desenvolveu procedimentos matemáticos para a integração de todas as funções racionais, o qual é chamado de método das frações parciais.
Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma de forma muito parecida com à de Cavalieri. Disso vem o símbolo ∫ (um longo “s”) para representar summa. Segundo ele, “represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas...e portanto eu represento em meu cálculo a área de uma figura por ∫ydy”.
O termo integral, utilizado em cálculo, foi criado por Johann Bernoulli e publicado por seu irmão Jakob Bernoulli, como consequência do Teorema Fundamental de Cálculo de Newton, pois integrais eram consideradas simplesmente como derivadas “inversas”.
Hoje em dia o Cálculo Integral é muito utilizado em diversas áreas do conhecimento humano e aplicado para resolução não só de problemas matemáticos, mas de Física, Engenharia, Medicina, Economia, Astronomia, e Química.

Passo 2

Leiam os desafios propostos:

Desafio A.
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de  da?[pic 1]

1. -[pic 2][pic 3]

1. [pic 4]

1. [pic 5]

1. [pic 6]

1.   [pic 7][pic 8][pic 9]

Desafio B.

                Supor que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C’(0) =1000+50q, a alternativa  que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

1. C(q) = 10.000 + 1.000q + 25[pic 10]

1. C(q) = 10.000 + 25q + 1.000[pic 11]

1. C(q) = 10.000[pic 12]

1. C(q) = 10.000 + 25[pic 13]

1. C(q) = 10.000q + + [pic 14][pic 15]

Desafio C.

                Supor que no início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?[pic 16]

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