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Calculo Volume Área Entre Curvas

Por:   •  11/5/2022  •  Exam  •  664 Palavras (3 Páginas)  •  142 Visualizações

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MeuGuru

Trabalho de cálculo 3.

  1. Determine se as seguintes séries convergem ou divergem

a)

[pic 1]

Resposta:

Para a resolução deste exemplo usaremos o teste da razão

Caso , então  é convergente[pic 2][pic 3]

Caso , então  é divergente[pic 4][pic 5]

Se , então o teste é inconclusivo[pic 6]

[pic 7]

Agora vamos calcular o seguinte limite

[pic 8]

[pic 9]

Podemos usar a seguinte substituição

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Colocando no limite

[pic 13]

[pic 14]

Dividindo todos os termos por [pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Aplicando propriedade dos limites

[pic 18]

Então

[pic 19]

Como  então, a série diverge.[pic 20]

b)

[pic 21]

Resposta:

Para a resolução deste exemplo usaremos o teste da razão

Caso , então  é convergente[pic 22][pic 23]

Caso , então  é divergente[pic 24][pic 25]

Se , então o teste é inconclusivo[pic 26]

[pic 27]

Agora vamos calcular o seguinte limite

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Aplicando no limite

[pic 32]

[pic 33]

Dividindo todos os termos por [pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Se  tende ao infinito então  tende a zero[pic 37][pic 38]

[pic 39]

Como , então a série converge.[pic 40]

c)

[pic 41]

Resposta:

Para este exemplo usaremos o teste da série alternada

Os dois requisitos para a série ser convergente são

1.  é positiva e monotônica decrescente[pic 42]

2. [pic 43]

A série pode ser reescrita como

[pic 44]

Então

[pic 45]

Calculando o limite

[pic 46]

[pic 47]

Propriedades dos expoentes

[pic 48]

[pic 49]

Regra dos logaritmos

[pic 50]

[pic 51]

Aplicando regra da cadeia do limite

, e  e  é continuo em [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

Então [pic 56]

Para o nosso exemplo, temos

[pic 57]

[pic 58]

Se o argumento de  tende a zero,  tenderá ao menos infinito[pic 59][pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

Segundo limite

[pic 63]

Qualquer numero elevado a menos infinito tende a zero

[pic 64]

[pic 65]

Sendo assim, a série converge

d)

[pic 66]

Resposta:

Usaremos o teste da divergência

Se  então  é divergente[pic 67][pic 68]

Aplicando no limite

[pic 69]

Dividir todos os termos pelo denominador de maior potência

[pic 70]

[pic 71]

Como  tende ao infinito, então todos os termos que tem  no denominador tenderá a zero[pic 72][pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Sendo assim  e a série diverge.[pic 76]

e)

[pic 77]

Resposta:

Aplicando o teste da razão

Caso , então  é convergente[pic 78][pic 79]

Caso , então  é divergente[pic 80][pic 81]

Se , então o teste é inconclusivo[pic 82]

[pic 83]

Agora vamos calcular o seguinte limite

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

Aplicando no limite

[pic 87]

[pic 88]

Dividindo todos os termos por [pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

Como  tende ao infinito o limite vale 1[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

Como  a série é convergente.[pic 95]

f)

[pic 96]

Resposta:

Neste este exemplo aplicaremos o teste da comparação

Primeiro vamos analisar o numerador,  varia para valores positivos de 0 a 1[pic 97]

Então se  converge, a série converge[pic 98]

[pic 99]

Aplicando o teste da p-série

Se [pic 100]

Com  a série diverge[pic 101]

Com  a série converge[pic 102]

Para o nosso exemplo  então, a série converge[pic 103]

  1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências

a)

[pic 104]

Resposta:

Usando o teste da razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência

Caso , então  é convergente[pic 105][pic 106]

[pic 107]

Agora vamos calcular o seguinte limite

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

Aplicando no limite

[pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

Sendo assim, o raio de convergência é

[pic 117]

[pic 118]

Então o raio de convergência é [pic 119]

E o intervalo de convergência

[pic 120]

b)

[pic 121]

Resposta:

Usando o teste da razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência

Caso , então  é convergente[pic 122][pic 123]

[pic 124]

Agora vamos calcular o seguinte limite

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

Aplicando no limite

[pic 128]

[pic 129]

Dividindo todos os termos por [pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

Então o raio de convergência é dado por

[pic 134]

[pic 135]

Encontrando o intervalo de convergência

...

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