Curva de níveis calculo 3

Cálculo 3

1. a. O que são curvas de nível?

Para Stewart (2009, p. 890), a definição formal da curva de nível é a seguinte:

Sejam z = f (x, y) uma função e k uma constante pertencente à imagem de f (x, y). Chama-se curva de nível de uma função f ao conjunto de todos os pontos (x, y) do domínio, tais que f (x, y) = k. O gráfico de f (x, y) é um subconjunto do R³, enquanto a curva de nível é um subconjunto do domínio de f (x, y) , portanto um subconjunto do R².

Para entender melhor esse conceito, suponhamos que a superfície z = f (x, y) seja interceptada pelo plano z = k , e a curva de intersecção seja projetada no plano xy. Essa curva projetada tem equação f (x, y) = k e é chamada curva de nível da função f em k .

Ao considerarmos diferentes valores para a constante k, obtemos um conjunto de curvas de nível. Esse conjunto de curvas é chamado mapa de contorno. As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função z = f (x, y) e, portanto, são traçadas no plano xy. Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura z = k correspondente.

1.b. Para que são utilizadas?

As curvas de níveis são uma forma de representar o gráfico de uma função de duas variáveis em um plano xy 2D. É a projeção no plano xy da intersecção entre z = k e z = f(x,y). É como se passássemos uma lâmina a certa altura do eixo z e desenhássemos o contorno do gráfico naquela altura. Variando-se k, obtemos uma coleção de curvas de nível, chamada de mapa de contorno. 

Uma curva de nível caracteriza-se como uma linha imaginária que une todos os pontos de igual altitude de uma região representada. Utiliza-se a curva de nível para projetar-se uma função que possua o mesmo valor de Z = f(x.y). As curvas de nível indicam uma distância vertical acima, ou abaixo, de um plano de referência de nível. Portanto, a curva de nível serve para identificar e unir todos os pontos de igual altitude de um certo lugar.

Aplicação na Física:

Curvas isotérmicas

As curvas isotérmicas, são as curvas de nível da função temperatura. Essas curvas ligam localidades que tem a mesma temperatura.