Equações diferenciais ordinárias na resolução de um problema envolvendo movimento harmônico simples

UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E ORDINARIAS

2015

A atividade pratica supervisionada da disciplina de equações diferenciais ordinárias apresenta como proposta três atividades relacionadas ao tema: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO. Tais atividades a serem feitas são:

1. Descrição da modelagem do problema;
2. Resolução da equação diferencial que representa o problema;
3. Exemplo do problema com valor inicial e analise gráfica da solução;

ATIVIDADE 1. DESCRIÇÃO DA MODELAGEM DO PROBLEMA

Todo movimento que se repete em intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. No caso deste estudo estamos interessados no tipo de movimento que se repete através de uma função senoidal do tempo como apresentado na figura abaixo.

[pic 1]

 

É interessante ressaltar que tal movimento pode ser aplicado a um sistema massa-mola e assim analisado através da lei de Hooke e ainda através da segunda lei de Newton, e tais analises são o nosso objetivo. Suponha que uma massa m1 é acoplada a um sistema flexível e suspensa por um suporte rígido. Quando uma massa diferente m2 substituir m1 claramente o alongamento da mola será diferente, como ilustrado abaixo. [pic 2]

   

De acordo com a lei de Hooke a mola exerce uma força restauradora oposta ao movimento e proporcional à distensão s ().  Após a massa m ser acoplada a mola e provocar a distensão da mesma, ela atinge uma posição de equilíbrio na qual a força peso é igual a força restauradora. Se a massa estiver deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio e for solta a força resultante nesse caso é dada pela segunda lei de Newton. Lembrando que a aceleração do movimento é dada por , temos:[pic 3][pic 4]

 e [pic 5][pic 6]

 onde de acordo com a lei de Hooke temos:

[pic 7]

Igualando F e W obtemos:

[pic 9][pic 10][pic 8]

[pic 11]

                (1)[pic 12]

Toda a discussão sobre movimento harmônico livre é irreal já que a equação (1) descreve um movimento que supostamente não sofre ação de nenhuma força externa. A menos que a massa esteja suspensa em um vácuo perfeito haverá pelo menos a força de resistência proveniente do ar. Em mecânica as forças de amortecimento agindo em um corpo são consideradas proporcionais a potência de velocidade, e no caso deste estudo vamos considerar que a força seja proporcional a , quando não existem outras forças agindo sobre o sistema utilizando novamente a segunda lei de Newton, a equação (1) considerando as forças de amortecimento passa a ser:[pic 13]

                 (2)          [pic 15][pic 14]

Consideremos agora uma força externa  agindo sobre o sistema massa-mola. Como exemplo,  poderia ser uma força causando movimento oscilatório vertical no suporte da mola, como na figura ao lado. A inclusão de  na equação (2) nos dá a equação diferencial do movimento forçado com amortecimento. [pic 16][pic 17][pic 18]

                 (3)[pic 19][pic 20]

                   (4)[pic 21]

Considerando os parâmetros físicos   e  obtemos:[pic 22][pic 23]

                (5)[pic 24]

Onde . [pic 25]

 Sendo assim, a equação (5) descreve o movimento forçado com amortecimento em um sistema massa-mola.

 ATIVIDADE 2. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE REPRESENTA O PROBLEMA

Como dito anteriormente a equação que descreve o movimento forçado com amortecimento em um sistema massa mola é a equação (5) e sua solução vem a seguir:

[pic 26]

                         [pic 27][pic 28]

                        [pic 29][pic 30]

                        [pic 31]

Equação característica:         (6)[pic 32]

Como a equação (6) é uma equação do segundo grau utiliza-se Bhaskara para encontrar as raízes da equação característica, obtemos assim:

[pic 33]

[pic 34]

        (7)[pic 35]

A partir da equação (7) podemos ter três resultados diferentes para as raízes da equação característica e posteriormente três resultados distintos para a solução geral da equação que descreve o movimento. Essa diferença ocorre devido a variação que o coeficiente de amortecimento e a constante elástica da mola podem sofrer, uma vez que nenhuma das variáveis é constante. Sendo assim, cada tipo de problema apresentado pode fornecer três tipos de solução geral, sendo elas:

1. O sistema massa-mola é superamortecido, ou seja, o coeficiente de amortecimento é muito grande quando comparado a constante elástica da mola. Tal situação fornece as raízes da equação:

[pic 36]

[pic 37]

        O sistema massa-mola superamortecido tem a solução geral do tipo:

        [pic 38]

1. Por outro lado, o sistema massa-mola pode ser criticamente amortecido já que qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório. A situação descrita fornece as raízes da equação:

[pic 39]

[pic 40]

Ou seja . E a solução geral para o sistema massa-mola criticamente amortecido é:[pic 41]

[pic 42]

1. Por fim, o sistema massa-mola pode ser subamortecido, ou seja, o coeficiente de amortecimento é muito pequeno quando comparado a constante de elasticidade da mola. As raízes geradas em tal situação são do tipo:

[pic 43]

[pic 44]

A solução geral para um sistema massa-mola subamortecido é:

[pic 45]

Em resumo o movimento harmônico em um sistema massa-mola pode ser livre ou forçado, como é o caso desse estudo. Sendo um movimento forçado ele pode ainda sofrer amortecimento e ser classificado como superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. As variações nas classificações quanto ao amortecimento do sistema se deve ao fato do coeficiente de amortecimento e a constante de elasticidade da mola serem valores diferentes para cada tipo de situação. A solução geral da equação