Pesquisa e pesquisa sobre sistemas de modelagem através de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia

ETAPA 1

Passo 1( Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia).

Modelagem matemática consiste em descrever matematicamente um fenômeno. É a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia.

A modelagem de um fenômeno por meio de equações diferenciais é normalmente feita através da simples observação. Conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno, tal que do ponto de vista matemático são derivadas, escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Modelar significa representar o sistema físico real (SFR), ou parte dele, em forma física ou simbólica, para predizer ou descrever o seu comportamento, ou seja, é a atividade de construir o modelo para representar o SFR.

O porquê de os modelos serem utilizados na engenharia:

É muito dispendioso e nada prático construir todas as alternativas possíveis do SFR até se encontrar uma solução satisfatória;

O processo direto de construção de alguns sistemas, além de impraticável, pode ser destrutivo e perigoso. Vidas humanas podem correr riscos se exaustivos testes com modelos não comprovarem a segurança do que se pretende construir.

A precisão do processo pode ser aumentada através do aprimoramento do modelo pois, como o problema está simplificado, tem-se condições de exercer um controle maior sobre o seu comportamento (menos variáveis para serem controladas)

É possível, em menor espaço de tempo, fazer um exame da situação de muitas variáveis, determinando seus efeitos no desempenho do SFR;

Com as ferramentas computacionais hoje disponíveis, diversas combinações de variáveis podem ser analisadas mais rápida e economicamente;

A abstração de um problema relativo ao equivalente real, leva-o do campo desconhecido para um campo familiar, pois o engenheiro está lidando com algo que pertence ao seu domínio de conhecimento.

É necessário ainda ressalvar que sempre aparecerão erros ou diferenças entre os resultados previstos (calculados) e os medidos, devido às simplificações introduzidas na formulação dos modelos. Os modelos não são únicos. Diferentes modelos podem ser utilizados para analisar o desempenho de um sistema sob diferentes pontos de vista.

A análise completa ou a solução perfeita de um problema, que exige levar-se em consideração todos os fatores e efeitos concebíveis, é praticamente impossível. Ninguém pode conhecer todos os fatores relevantes ou prever todos os seus efeitos possíveis, como também, muitos desses fatores por serem pouco significativos, tem pouco influência e assim podem ser desprezados.

Na prática, ao se resolver um problema, é necessário afastar-se um pouco do SFR, simplificando-o e substituindo-o por outro problema mais simples, que é o modelo. Cabe ao engenheiro, pelo seu julgamento de habilidade e criatividade a relevância e influência das diversas variáveis, simplificar o SFR, até que um determinado modelo consiga representá-lo satisfatoriamente. É sempre possível introduzir algumas simplificações sem prejudicar a utilidade do modelo.

Na engenharia, diferenças entre o previsto e o real (erros de precisão) de 5% ou 10% podem ser perfeitamente admissíveis, e em alguns casos, chega-se a erros maiores, sem invalidar o trabalho.

Passo 2 (Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS)).

O calculo Diferencial lida com o problema de se determinar a taxa de variação de uma quantidade com relação a outra. A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico. As mais diversas formas de integrais nos obriga a fazermos estudos a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação.

Tipos de simplificação de integral:

Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

Que após a antidiferencial se torna:

E, portanto:

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferencial de u: du. Parece um tanto incomum a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C.

, Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral.

Exemplo

Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:

Considerando as partes:

e: