Espelho Parabólico

Espelho Parabólico

Consideremos o problema de determinar qual a forma que deve ter um espelho para que tenha a propriedade que, quando um feixe de raios paralelos incidir sobre o espelho, os raios refletidos se concentrem em um único ponto [pic 1], o foco do espelho. Este é o tipo de espelho que deve ser usado em um telescópio, a fim de produzir uma imagem perfeita. Outra situação em que este espelho é usado é em uma antena parabólica (veremos que esta deve ser a forma do espelho). Invertendo o sentido de percurso dos raios, o mesmo tipo de situação se apresenta quando emitimos um sinal, a partir de ponto [pic 2], e desejamos que este sinal seja captado em um outro ponto, a grande distância. Fazemos com que ele seja refletido por um anteparo. A fim de que o sinal possa ser captado facilmente, não queremos que ele perca muito em intensidade. Por isto vamos querer que os raios refletidos saiam paralelos. Assim evitamos a dispersão. O sinal transmitido vai perder muito pouco em intensidade e só vai poder ser captado em pontos que estiverem sobre a semi-reta partido da fonte, com a direção escolhida. A questão a ser considerada agora é a determinar a forma que deve ter um espelho para que os raios emitidos por uma fonte localizada um ponto [pic 3] sejam todos eles refletidos paralelamente. 

           O espelho é uma superfície [pic 4], mas cortando a superfície [pic 5] por um plano que passa pelo ponto [pic 6], obtemos uma curva [pic 7]. Vamos considerar, então, o problema de determinar a forma da curva [pic 8]. Temos agora um problema em um plano. Colocando neste plano um sistema de coordenadas de modo que a origem fique sobre a fonte luminosa [pic 9] e o eixo dos [pic 10] seja paralelo aos raios refletidos. Temos que resolver um problema puramente geométrico, representado na figura abaixo.

[pic 11] 

           O problema que queremos resolver é o de determinar as curvas [pic 12] com a propriedade descrita a seguir. Dado um ponto [pic 13] qualquer sobre [pic 14], seja [pic 15] a reta tangente à curva [pic 16] no ponto [pic 17]. Seja [pic 18] o ângulo entre a tangente [pic 19] e o eixo [pic 20] (ou se, preferir, o raio refletido no ponto [pic 21]) e seja [pic 22] o ângulo entre a reta [pic 23] e o raio [pic 24]. Pela lei da reflexão, queremos determinar as curvas [pic 25]que tenham a propriedade que [pic 26]. 

           Vamos procurar a função [pic 27], cujo gráfico é a curva [pic 28]. Seja [pic 29] um ponto genérico de [pic 30]. Temos [pic 31], pois são ângulos com lados paralelos (um deles é até comum). Logo [pic 32] e o triângulo [pic 33] é isósceles. Logo [pic 34]. Mas [pic 35]. Pela interpretação geométrica da derivada,

[pic 36]

Logo

[pic 37]

(1)

que é uma equação diferencial satisfeita pela curva [pic 38]. 

Resolução da equação diferencial (1):

Trata-se de uma equação diferencial homogênea. É perfeitamente possível resolvê-la empregando os métodos vistos em aula (faça como exercício). No entanto, resulta um pouco mais simples transformá-a na equação

[pic 39]

(2)

que também é homogênea, pois pode ser reescrita como

[pic 40]

com o lado direito dependendo somente da razão [pic 41]. Introduzindo a nova variável independente

[pic 42]

obtemos a equação

[pic 43]

isto é,

[pic 44]

Separando as variáveis,

[pic 45]

A segunda integral é calculada por uma substituição trigonométrica [pic 46], [pic 47],

[pic 48]

Logo

[pic 49]           ([pic 50])

Logo

[pic 51]

Multiplicando por [pic 52],

[pic 53]

Elevando ao quadrado,

[pic 54]

ou seja,

[pic 55]

Dividindo por [pic 56],

[pic 57]

(3)

Esta equação representa uma família de parábolas (deitadas). 

Interpretação da solução:

Uma maneira simples de localizar no plano a família de parábolas dada pela equação (3) é completar o quadrado, reescrevendo como,