Estudo geral de funcoes

FUNÇÕES

        O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

        O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

        Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:

[pic 2]

        A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

[pic 3]

A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

        Agora preste atenção no próximo exemplo:

[pic 4]

A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B.

[pic 5]

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO:

        O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x ∈A estiver associado a um elemento y ∈B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

        Exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que:

• A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.

Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função:

[pic 6]

[pic 7]

Observações:

• Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:

[pic 8]

Determine:

1. o domínio (D) de f;
2. f(1), f(-3), f(3) e f(2);
3. o conjunto imagem (Im) de f;
4. a lei de associção

Resolução:

1. O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.
2. f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.
3. O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.
4. Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

1. Dada a função f: IR→IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

1. f(2), f(3) e f(0);
2. o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

1. f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0

f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

1. Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO:

• O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis.

Vamos ver alguns exemplos:

[pic 9]

Agora o denominador: como 3-x está dentro da raiz devemos ter 3-x ≥ 0, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x ≠ 0. Juntando as duas condições devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2).