Estudos matemáticos Euler

ETAPA 2

PASSO 1:

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra). Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los numa pilha. Sempre que era necessário material para as publicações da Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produção de Euler era superior às publicações, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica o fato de quando alguns artigos surgirem, extensões e melhorias dos mesmos já terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.Inicialmente, o fundamento da utilização baseava-se em representar um número infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler apresentava ex = lim (1 + x/i) i onde, actualmente se escreve ex = lim (1 + x/n)n. Mas somente após a opção, por parte de Gauss (1777 - 1856), do símbolo i no seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, é que se assegurou a sua utilização nas notações Matemáticas. Após apresentação dos símbolos, cuja introdução e opção se devem a Euler, foi possível combinar os números e e i com o 0 e o 1 na mais célebre igualdade que contém os cinco números: e i + 1 = 0Esta revela uma importante relação entre os mesmos. A Euler também é associada à introdução das seguintes notações:A sexta constante mais importante da Matemática, a Constante de Euler.- O logaritmo de x, ln x;- O uso da letra  para a adição;- f(x) para uma função de x.

n ℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

Substituindo o valor de n para ={1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}

lim n->1 (1+1/1)^1= 2

lim n->5 (1+1/5)^5= 2,48832

lim n->10(1+1/10)^10= 2,59374246

lim n->50(1+1/50)^50= 2,691588029

lim n->100(1+1/100)^100= 2,704813829

lim n->500(1+1/500)^500= 2,715568521

lim n->1000(1+1/1000)^1000= 2,716923932

lim n->5000 (1+1/5000)^5000= 2,71801005

lim n->10000(1+1/10000)^10000= 2,718145927

lim n->100000(1+1/100000)^100000= 2,718268237

lim n->1000000(1+1/1000000)^1000000= 2,718280469

Notamos que quanto maior o valor de n, maior se aproxima do número de e .

PASSO 2

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada