FUNDAÇÃO CENTRO DE ANÁLISE, PESQUISA E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA. CÔNICAS: HIPÉRBOLE

FUNDAÇÃO CENTRO DE ANÁLISE, PESQUISA E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA.

CÔNICAS: HIPÉRBOLE

MANAUS

2014

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Jose Edi de Souza Junior

CÔNICAS: HIPÉRBOLE

                Trabalho apresentado para obtenção de nota da disciplina: Álgebra Linear ministrada pelo Professor Walter Lucas.

     

MANAUS

2014 

Sumário

Introdução1

Hipérbole4

1. Definição5

1. Elementos da Hipérbole......................................................................................3
2. Assíntotas da Hipérbole

1. Equação da Hipérbole de Centro na Origem do Sistema

1. Eixo real está sobre o eixo x
2. Eixo real está sobre o eixo y

Exemplos

1. Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema

1. O eixo real é paralelo ao eixo dos x
2. O eixo real é paralelo ao eixo dos y

Exemplos

1. Aplicações da Cônica Hipérbole

Conclusão1

Referências Bibliográficas1

     

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INTRODUÇÃO              

O presente trabalho tem por apresentar o estudo Analítico da Geometria com foco nas cônicas, voltado de modo particular para hipérbole. No sentido de ampliar nossos conhecimentos a cerca de sua definição e propriedades, suas equações, representação gráfica, elementos característicos e aplicações.

Hipérbole

1. Definição

A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que é constante a diferença, em módulo, das suas distâncias a dois pontos fixos desse plano, chamados focos. Essa constante tem de ser inferior à distância entre os focos. Sejam os pontos F1 e F2 do espaço de dimensão 2, de modo que a distância entre F1 e F2 seja constante e igual a 2c, com c> 0 , ou seja: d(F1, F2) = 2c. Ao conjunto de todos os pontos P dos planos tais que:

|d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a ou |PF1 – PF2| = 2 a. (Figura 1)

[pic 1]

Figura 1-Definição Hipérbole

Fonte (Venturi, 2003, p.92)

        

Note que a equação é equivalente d(P, F1) - d(P, F2) = ± 2a. No caso positivo, a distância de P ao foco F1 é maior que a de P ao foco F2: d(P, F1) = d(P, F2) + 2a > d (P, F2).

No caso negativo verifica-se o contrário, a distância de P ao foco F2 é maior que a de P ao foco F1: d(P, F2) = d (P, F1) + 2a > d(P, F1).

Considerando a reta que passa por F1 e F2, as intersecções com a hipérbole serão os pontos A1 e A2. Traçamos uma perpendicular a esta reta, passando pelo centro C do segmento F1 e F2 (Figura 2). A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem outros pontos P2, P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal; P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical; P4 é o simétrico a P1 em relação ao ponto C. Pela simetria, concluímos que:

[pic 2]

Figura 2-Elementos Hipérbole[pic 3]

Fonte (Venturi, 2003, p.94)

1. Elementos da Hipérbole

A seguir descreveremos os elementos da hipérbole:

• Os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole.
• A distância entre F1 e F2 é a distância focal igual a 2c e c > 0.
•  A1 e A2 são os vértices da hipérbole.
•  O segmento A1 e A2 é o eixo real da hipérbole.
• O segmento B1 e B2 é o eixo imaginário da hipérbole o segmento B1B2, de comprimento 2b. O valor de b é definido pela relação pitagórica:

[pic 4]  .

• O ponto C, médio do eixo real é o centro da hipérbole.

1. Assíntotas de uma Hipérbole

Assíntotas são as retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Considerando uma circunferência de raio CF1 ou CF2, cujo centro C é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices A1 e A2 cordas perpendiculares ao segmento F1F2 e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo MNPQ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões 2a e 2b. As retas r e s que contêm as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole. (Figura 3)

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