Funções EXPONENCIAIS

Construção do gráfico, limite, derivada, equação da reta tangente, integral, domínio, imagem, pontos de máximo, pontos de mínimo e inflexão de funções exponenciais.

a) F(x) = ex (função exponencial)

Domínio = R admite-se y = F(x), logo y = ex

Imagem = y >0

O domínio dessa função são todos os números reais, pois ela admite qualquer valor real para x.

A imagem desta função são todos os valores de y maiores do que 0, pois para qualquer valor de x, mesmo que seja negativo, o valor de y será maior que 0

Para saber onde o gráfico passa no eixo x, deve-se descobrir as raízes da função, então para y = 0,

p/ y = 0

ex = 0, não existe valor para x, para que a função seja 0, portanto não existe raiz nesta função. Assim o gráfico não cortará o eixo x

p/x = 0

y = 1, pois qualquer base elevada a um expoente 0, o valor será 1

y = 1, logo o gráfico desta função cortará o valor de 1 sobre o eixo y

Determinando os limites no infinito da função para saber onde o gráfico está tendendo:

limx→ +∞fx= +∞

limx→ -∞fx= 0

Assim quando os valores positivos de x vão aumentando positivamente a função tende a crescer para +∞, e quando os valores de x se tornan mais negativos a função tende a se aproximar de zero, mais não toca o eixo.

Calculando os pontos de máximo, mínimo e de inflexão caso existam.

F(x) = ex

Para funções exponenciais nas quais a base é uma constante qualquer usa-se a fórmula:

F (x) = ux

F ‘(x) = ux. ln(u), assim:

F ‘(x) = ex. e (obs: ln(e) = 1), portanto a derivada de ex , é ele mesmo

Não existe raiz, portanto não existe ponto de máximo ou de mínimo

F ‘‘(x) = ex. (ln(e))2 = ex. , não existe raiz, portanto, não existe ponto de inflexão

F ‘‘‘(x) = ex. (ln(e))3 = ex.

Cálculo da integral indefinida de F(x) = ex

Para o calculo desta integral utiliza-se a fórmula:

Assim a integral desta função exponencial será

Como ln(e) = 1

Calculo da equação da reta tangente no ponto (0, f(0))

y – F(x0) = F ‘(x0) (x – x0)

F(0) = 1

F ‘ (0) = 1

y – 1 = 1 (x – 0)

y = x + 1 (Equação da reta tangente)

Pelos cálculos anteriores tem-se o gráfico:

F(x) = e-x (função exponencial)

Domínio = R admite-se y = F(x), logo y = e-x

Imagem = y >0

O domínio dessa função são todos os números reais, pois ela admite qualquer valor real para x.

A imagem desta função são todos os valores de y maiores do que 0, pois para qualquer valor de x, mesmo que seja negativo, o valor de y será maior que 0

Para saber onde o gráfico passa no eixo x, deve-se descobrir as raízes da função, então para y = 0,

p/ y = 0

e-x = 0, não existe valor para x, para que a função seja 0, portanto não existe raiz nesta função. Assim o gráfico não cortará o eixo x

p/x = 0

y = 1, pois qualquer base elevada a um expoente 0, o valor será 1

y = 1, logo o gráfico desta função cortará o valor de 1 sobre o eixo y

Determinando os limites no infinito da função para saber onde o gráfico está tendendo:

limx→ +∞fx= 0

limx→ -∞fx= +∞

Assim quando os valores positivos de x vão aumentando positivamente a função tende a se aproximar de zero, e quando os valores de x se tornan mais negativos a função tende a crescer para +∞

Calculando os pontos de máximo, mínimo e de inflexão caso existam.

F(x) = e-x

F ‘(x) = - e-x, a derivada do exponencial é o próprio exponencial

Pela fórmula: u’. eu, basta derivar o expoente e multiplicar pela função original.

Como a derivada do exponencial é ele mesmo, não existe ponto crítico, portanto não existe ponto de máximo, mínimo ou de inflexão.

F ‘‘(x) = e-x

F ‘‘‘(x) = - e-x

Para o calculo desta integral utiliza-se a fórmula:

Calculo da equação da reta tangente no ponto (0, f(0))

y – F(x0) = F ‘(x0) (x – x0)

F(0) = 1

F ‘ (0) = -1

y – 1 = -1 (x – 0)

y = - x + 1 (Equação da reta tangente)

Pelos cálculos anteriores tem-se o gráfico:

c) F(x) = ex+1 (função exponencial)

Domínio = R admite-se y = F(x), logo y = ex+1

Imagem = y >0

O domínio dessa função são todos os números reais, pois ela admite qualquer valor real