Historicamente o estudo das Matrizes

1 INTRODUÇÃO

Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes, linha essa apenas modificada com o surgimento de Joseph Sylvester, primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em sua obra Memoir on the Theory of Matrizes em1858.

Com um estudo recente de apenas cerca de 150 anos as Matrizes ganharam tamanha importância que não se consegue conceber, hoje, a ideia de computadores, engenharia civil, elétrica, mecânica, meteorologia, oceanografia entre outras inúmeras áreas sem o estudo delas. Na verdade seu estudo sistemático começou realmente com Cayley, mas antes dele já havia prósperas pesquisas no assunto, principalmente quando Lagrange utilizou Matrizes no estudo de máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis.

No cotidiano, encontramos praticamente em qualquer lugar as matrizes sendo utilizadas nos mais diversos meios de comunicação. É possível dizer que varias operações realizadas por cérebros eletrônicos como os computadores são fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, economia, física e nos mais diversos campos da ciência, podemos tomar como exemplo o aplicativo Microsoft Excel, planilha eletrônica que faz parte da suíte Microsoft Office da Microsoft Company, que é baseado totalmente em matrizes e a que se tornou um programa muito popular entre as empresas.

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 DEFINIÇÃO

Uma matriz é um conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas num retângulo e que possuem certas propriedades matemáticas bem definidas. Em outras palavras, é uma tabela de informações codificadas em números.

Seja a matriz dada abaixo:

Os elementos matriciais de A podem ser generalizados como Amxn = (aij), onde m e n é a ordem da matriz entre linhas e colunas respectivamente, i o número de linhas e j o número de colunas dos elementos dentro da matriz. Assim se quisermos o elemento da 5ª linha e 6º coluna, o escrevemos assim:

Amxn = (a56)

As matrizes são representadas matematicamente através de parênteses, como em (I), ou através de colchetes. Elas podem ser somadas, subtraídas e multiplicas, possuindo, assim, algumas propriedades. Se forem quadradas possuem duas diagonais, a Diagonal Principal, que parte da esquerda para direita e compreende os elementos do centro, e a Diagonal Secundária, que parte da direita para a esquerda e compreende os elementos do centro no sentido contrário, como a seguir:

2.2 APLICABILIDADE

As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações dessas "tabelas" nos auxiliam, por exemplo, no ensino da matemática aplicada a muitas áreas. As usuais transformações de tabelas que usamos como instrumento de estudo das matrizes podem ser feitas através de estudos realizados nos campos da economia, engenharia, matemática, física, informática, entre outros.

Na informática temos os exemplos clássicos de matrizes, em programas onde elas aparecem no auxilio dos cálculos matemáticos, editores de imagem, o próprio teclado onde sua configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre outros tantos.

Na economia as matrizes auxiliam como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas. Junto com a economia temos as organizações comerciais que fazem uso da tabela, ou seja trabalham com matrizes.

Engenheiros Civis fazem constantemente o uso das matrizes, que são de extrema importância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação (Lage). Na Física é feito o uso das matrizes a partir de tabelas relacionando o deslocamento e o tempo. Entre tantos outros exemplos.

2.3 EXEMPLOS

2.3.1 Exemplo 1

Uma professora faz um comparativo entre os gastos calóricos com a alimentação intermediada por exercícios físicos. Baseando os dados numa pessoa de 60 kg de peso corporal em atividades físicas de tempo de 1 hora, ela montou uma tabela, como a que se segue:

Durante uma semana em acompanhamento de uma hora, obteve-se:

Das duas Matrizes é possível construir uma associação de Matrizes e determinar a quantidade de calorias gasta por dia por essa pessoa, assim:

É possível concluir que seguindo a dieta de alimentação e exercícios físicos, na segunda – feira a pessoa gastará 552 calorias, na terça-feira, 890 calorias, na quarta-feira 1016 calorias, na quinta-feira 895 calorias e na sexta-feira 678 calorias.

2.3.2 Exemplo 2

Uma fácil aplicabilidade das Matrizes consiste no estudo das Equações Lineares. Considere um jornal de grande circulação nas cidades do interior nordestino do país. Dessas, tiremos cinco: Petrolina, Juazeiro, Sobradinho, Curaçá e Santa Maria. A tabela a seguir mostra à quantidade vendida desse jornal de segunda a sexta nessas cidades:

Vendas por dia da semana de Segunda a Sexta:

Deseja-se saber o preço vendido em cada cidade, durante a semana de segunda a sexta, sabendo o jornal ganhou R$ 100.000,00 durante a referida semana.

As duas tabelas apresentadas podem ser escritas em forma de Matrizes. Aqui a Matriz Quantidade, representada por Q e a Matriz Preços, representada por P. Assim temos:

Verificasse que o número de colunas de Q é o mesmo que o número de linhas de P, o que nos permite uma multiplicação, Q.P = F, onde F é a Matriz Faturamento:

Então em Petrolina e Juazeiro o Jornal custa R$ 1,58, em Sobradinho R$ 3,16 e em Santa Maria e Curaçá, R$ 4,08.

2.3.3 Exemplo 3

Nas tabelas a seguir temos a descrição da quantidade de grãos produzidos, em três regiões, nos anos de 2005 e 2006.