IMPLICITA CALCULO 1

Notas ao capitulo 1 (continuacao)

Grafico ilustrativo do teorema de existencia e unicidade

http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/graf_un_ex.pdf

2a Lista de Exercícios

1. Encontre a solução do problema de valor inicial para a equação:

ty´ + 2y = t2 – t + 1 ; y(1) = ½

1. Encontre a solução geral (explícita ou implícita) para a equação:

y´ = x2 / (1-y2) . Resolva o problema de valor inicial para y(0)=0.

Faça o gráfico do campo de direções e esboce o gráficos das curvas integrais.

1. Resolva as equações:

1. y´ + y2 sen x = 0
2. y´ = x2/y

1. Em um instante t=0, um tanque contém, Q0 lb de sal dissolvido em 100 gal. Há uma entrada de água salgada com teor de ¼ lb de sal por galão, a uma taxa de 3 galões por minuto. E, há uma saída de água do tanque, bem misturada, à mesma taxa de entrada – 3 galões por minuto.

1. Formule a equação diferencial , cuja solução dá a quantidade de sal no tanque a cada instante de tempo.
2. Resolva a equação para Q0= 50 libras

1. Faça o gráfico das curvas integrais para outros valores iniciais. Interprete.

1. Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de rendimento r.  

Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que o rendimento é composto continuamente.

1. Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t
2. Se r= 7,5%, determine k de modo que esteja disponível R$ 1 milhão para a aposentadoria após 40 anos.
3. Se k= R$ 2000/ano, determine a taxa de rendimento r que precisa ser aplicada para se ter  R$1 milhão após 40 anos.

RESPOSTAS

1. y = (3t4 – 4t3 +6t2 + 1) / 12t2

1. a) –x3 + 3y – y3 = c

        http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp2c_l2.pdf

1. a) y –1+cos x = c, se y0

b) 3y2 – 2x3 = c

1. a) Q´= 3/4 – 3Q/100

b)Q(t) = 25 + (Q0 – 25)  exp( -3t / 100) ;  para Q0 = 25  Q(t) =25

http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp4c_l2.pdf

1. a) S(t) =S0 exp(rt) + (k / r) (exp(rt) – 1)

b) k = R$ 3930,00 (aproximado)

c) 9,77 % (aproximado)

 

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