Integral

INTEGRAL

Para estudo da integral, primeiro é trabalhado a integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação (Cálculo I). Em seguida, trata-se a integral definida (Cálculo II), que é a integral propriamente dita, e sua relação com o problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresenta-se o Teorema Fundamental do Cálculo, que é a peça chave de todo o Cálculo Integral e Diferencial (Cálculo III), pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.

1 INTEGRAL INDEFINIDA

1.1  Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) se F’(x) = f(x).

F(x) é também chamada de anti-derivada.

Exemplo 1)        F(x) é primitiva (anti-derivada) de         f(x).

                

F(x)	f(x)		F(x)	f(x)
x	1		x - 2	1
2x2	4x		senx	cosx
cosx	- senx		senx - 1	cosx
x3 + 2	3x2		x4 + 5	3x3

                                            

Observa-se que podemos ter não apenas uma primitiva F(x) para cada f(x), mas sim infinitas, como nos exemplos acima. Deste modo, faremos a notação da anti-derivada de f(x) como sendo F(x) + C, onde C é uma constante qualquer.

A anti-derivada, ou simplesmente primitiva, de f(x) é o que denominamos de integral de f(x), a qual é dada por F(x) + C.

Matematicamente, esta integral é assim representada:

                                [pic 1]

1.2  Tabela das principais integrais elementares

1) [pic 2]                                                2) [pic 3]1/x dx ou [pic 4]dx/x = ln(x) + C

3)  [pic 5]xa dx = x(a+1)/(a+1) + c                        4) [pic 6]ax dx = ax/lna + c

5) [pic 7]ex dx = ex + c                                        6) [pic 8]senx dx = - cosx + c

7) [pic 9]cos dx = senx + c                                8) [pic 10]tgx dx = ln(secx) + c

9) [pic 11]cotgx dx = ln(senx) + c                                

1.3  Propriedades da integral indefinida:

1ª) [pic 12]K.f(x) dx    =    k. [pic 13]f(x) dx

2a) [pic 14][f(x) + g(x)] dx   =   [pic 15]f(x) dx  +  [pic 16]g(x) dx

Exemplo 2)

a)  [pic 17]11.(3x2 + x - 1) dx    =    11.[pic 18](3x2 + x - 1) dx

b) [pic 19]2/3.sen(4y + 2) dy    =    2/3[pic 20]sen(4y + 2) dy

c) [pic 21][(2x + 1) + (x2 + x + 5)] dx =  [pic 22](2x + 1) dx  +  [pic 23](x2 + x + 5) dx

d) [pic 24][(x – 8) + senx] dx   =  [pic 25](x – 8) dx  +  [pic 26]senx dx

Exemplo 3) Calcule as integrais a seguir:

a) [pic 27]x3 dx   =                                   b) [pic 28]12x5 dx   =  

c) [pic 29]y3/2 dy   =                                   d) [pic 30]1/14.t2/7 dt   =  

e) [pic 31]1/[pic 32] dx   =                                    f) [pic 33](x2 + ex – 1) dx   =  

g) [pic 34](3 senθ – cos θ) dθ  =                          h) [pic 35]tgx . cosx dx   =  

i) [pic 36]([pic 37] + [pic 38]) dy   =                          j) [pic 39][pic 40] dx   =