Integral

No cálculo, a integral[nota 1] de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano[1] e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. [carece de fontes]

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.[2]

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.[1]

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notação[editar | editar código-fonte]

Integral definida[editar | editar código-fonte]

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como[3] :

Em linguagem matemática Em português

S = {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx S é a integral da função {f(x)}, no intervalo entre a e b. {\int} é o sinal da integral, {f(x)} é o integrando e os pontos {a} e {b} são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde {f}: \left [ {a},{b} \right ] \rightarrow \mathbb{R} {f} é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com {a} \le x \le {b} ) e com imagem no conjunto dos números reais

Integral da função {\textstyle \text{sen}\left( \frac{x}{3}\pi -1\right)+4} sobre o intervalo [1, 9]. O valor da soma de Riemann truncada em n sub-intervalos é indicada por S.

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório[4] . Isto porque, intuitivamente, a integral de {f(x)} sobre o intervalo [a,b] pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base \Delta x tendendo a zero e altura {f(x_i^*)}, onde o produto {f(x_i^*)}\Delta x é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva y = f(x) e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:[3]