Matematização de ondas (métodos matemáticos)

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Universidade Federal de São Carlos - UFSCar

Engenharia Química

Métodos de Matemática Aplicada - 083119-14A

Modelagem matemática: Comportamento de onda em instrumentos musicais de corda

Alunos:                                                                         RA:

         Irwin Eches Ronacher Souza                                561215    

         Pedro Farinasso Biagi                                           561134

Professor:

         José Antônio Salvador

1-Sumário

1-Sumário        

2 – Resumo        

3 - Introdução        

4 – Objetivos:        

5 – Descrição Geral do Problema:        

6 – Identificação dos parâmetros:        

7 – Hipóteses consideradas:        

8 – Dedução do modelo matemático:        

9 – Exploração da dedução:        

10 – Simulação dos resultados:        

10.1 - Violão        

10.2- Violino        

10.3 - Violoncelo        

11 – Validação do modelo:        

12 - Conclusão        

13 - Referências Bibliográficas        

2 – Resumo

        Neste trabalho será abordada a relação entre oscilação ondulatória e a produção de som por instrumentos musicais de corda. Para isso, foi utilizada a 2ª Lei de Newton aplicada na corda, a fim de estabelecer uma relação entre a posição de um ponto da corda e o tempo, indicada por uma equação diferencial parcial. Através da dedução realizada, foi possível estabelecer condições iniciais e de contorno e, assim, resolver a equação diferencial, obtendo sua solução.

        Dessa forma, foi possível envolver o esquema de propagação de ondas em cordas de instrumentos musicais com a solução obtida e, assim, variar parâmetros, como o comprimento de corda e a velocidade de propagação da onda, para diferentes instrumentos de corda (violão, cavaquinho e violoncelo). Com a solução obtida para cada um, foram realizados gráficos demonstrando o comportamento ondulatório em cada situação.

3 - Introdução

        Em grande parte da história do ser humano, observa-se a presença de instrumentos fabricados com matéria-prima natural capazes de produzir som de forma estratégica ou, simplesmente, para entretenimento e apreciação. Pelo mundo todo, tem-se um grande número de instrumentos musicais criados ao longo da história da sociedade. Todo e qualquer instrumento musical, para cumprir sua função de produzir som, está associado a fenômenos de oscilação de ondas. Esses fenômenos podem provir de vibrações de uma coluna de ar, vibrações de uma corda ou percussão de uma membrana, por exemplo.

        O contrabaixo Balalaika e o Theremin são exemplos de instrumentos musicais que utilizam das propriedades ondulatórias para a produção de som. Desenvolvido na Rússia no século XVII, o contrabaixo Balalaika é um instrumento triangular que pode ser tocado com os dedos ou palhetas de couro, utilizando a propagação de ondas na corda para produzir música. Já o Theremin foi um dos primeiros instrumentos musicais eletrônicos inventado pelo russo Leon Theremin em 1928, baseando-se em um conjunto de osciladores para produzir o som, em que não é necessário o contato físico com o instrumento.

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Imagem 3.1 - Contrabaixo Balalaika              Imagem 3.2 - Theremin

        As ondas, de um modo geral, podem ser classificadas de duas maneiras: onda mecânica e onda eletromagnética. A principal diferença  entre elas é que a mecânica depende do meio em que se propaga, enquanto a eletromagnética não.

        As ondas mecânicas podem ser exemplificadas pelas ondas na água, a vibração da corda de um violão ou pela voz de uma pessoa, já que todas dependem de um meio material para a sua propagação. Já as ondas eletromagnéticas podem ser exemplificadas pela luz do sol, que se propaga pelo vácuo até atingir a atmosfera terrestre.

        A vibração de uma corda é um exemplo de onda mecânica responsável por gerar o som de diferentes tipos de instrumentos existentes pelo mundo. Pode-se classificar as vibrações de uma corda de quatro formas:

1. Vibrações livres: quando apenas as forças tensão em suas extremidades e mais nenhuma força externa influenciam na propagação das ondas.

                                                           (Eq. 3.1)[pic 4]

1. Vibrações forçadas: quando, além das forças tensão, as ondas se propagam de acordo com uma força externa, que pode variar tanto com a posição x da corda quanto com o tempo t.

                (Eq. 3.2)[pic 5]

1. Vibrações amortecidas: quando a vibração se propaga em um meio que oferece resistência ao movimento.

                (Eq. 3.3)[pic 6]

1. Vibrações sob ação de uma força amortecedora: quando a força externa possui a tendência de retomar o equilíbrio da corda.

                (Eq. 3.4)[pic 7]

        

Neste trabalho, iremos representar, matematicamente, o movimento da onda de uma corda de diferentes instrumentos, como, por exemplo, uma guitarra ou violão. No violão, ao perturbar uma corda, suas vibrações se propagam por toda a extensão e são transferidas para a caixa acústica do violão, tendo seu som amplificado e alcançando o microfone. No caso da guitarra, o movimento das cordas de aço transmitem sinais elétricos até os captadores através de indução eletromagnética.