Momento de inércia

MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS PLANAS

1. Introdução

O momento de inércia de uma área em relação a um eixo (Figura 1) situado no seu plano é definido como a soma dos produtos das áreas elementares vezes o quadrado de suas distâncias ao eixo.

(1)

Figura 1

É fácil observar que a soma dos momentos de inércia de uma figura plana em relação a dois eixos mutuamente perpendiculares é igual ao momento polar de inércia em relação ao pólo que é a interseção desses eixos.

Ligando (dA) à origem, pelo teorema de Pitágoras temos:

Conseqüentemente:

Ou:

(2)

Pela expressão da equação (1) concluímos que os momentos de inércia são sempre positivos e não podem ser nulos; eles são medidos em unidades de comprimentos elevadas à quarta potência (m4).

2. Fórmula para cálculo de momento de inércia em relação a eixos paralelos (expressão de Steiner)

Os eixos passantes através do centro de gravidade de uma figura são chamados eixos centroidais. Vamos supor na (Figura 2) que “x” seja um eixo centroidal em relação ao qual o momento de inércia Ix é conhecido. Procuremos determinar o momento de inércia Ix1 da figura em relação a outro “x1” paralelo ao eixo centroidal “x” e distante dele de “a”.

Figura 2

Pela definição o momento de inércia, Ix e o momento de inércia Ix1 são expressos como:

Da (Figura 2) obtemos que as distâncias de todas as áreas elementares (dA) ao novo eixo “x1” são acrescidas de uma quantidade constante “a”, isto é:

y1=y + a

Substituindo o valor de y1 na expressão de Ix1 temos:

A primeira integral é o momento de inércia centroidal Ix. A segunda é zero pois representa o momento estático da área em relação ao eixo “x” que passa pelo centro de gravidade. A terceira é igual ao produto “a2A”. Logo:

(3)

“O momento de inércia de uma área em relação a um eixo é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo a ele e passando pelo centro de gravidade da área mais a área da figura vezes o quadrado da distância entre os eixos”.

Da expressão (3) concluímos que de todos os momentos de inércia em relação a eixos paralelos, o menor momento é aquele em relação ao eixo passante através do centro de gravidade da área ou seja, o momento centroidal de inércia. A mesma expressão torna possível determinar o momento centroidal de inércia se o momento em relação a outro eixo é conhecido:

(3.1)

Em relação ao eixo “y” tudo se passa de modo análogo. Não há necessidade de repetir a dedução das fórmulas.

3. Momentos de inércia de áreas simples

Neste capítulo vamos determinar os momentos de inércia de áreas simples freqüentemente encontradas na prática de projetos. O conhecimento dos momentos de inércia destas figuras simples ajudará na determinação dos momentos de figuras complexas se seus momentos são calculados como a soma de momentos de inércia das figuras simples nas quais são divididas.

Retângulo. Encontremos o momento de inércia de um retângulo de base “b” e altura “h”, em relação à sua base (Figura 3).

Vamos dividir a área do retângulo em áreas elementares “dA” de base “b” e altura (dy1); uma destas áreas está indicada pela seção hachurada na (Figura 3).

Figura 3

dA = bdy1

Substituindo esta expressão da área da faixa elementar na expressão geral para cálculo do momento de inércia, obtemos:

(4)

O limite de integração de 0 a h indica que a integração é estendida sobre toda a área para y1=0 até para y1= h.

Por analogia, o momento de inércia em relação ao eixo vertical y1 é:

(4.1)

Vamos agora calcular o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal, aplicando a expressão (3.1):

(5)

O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal vertical é:

(5.1)

Quadrado de lado a. Substituindo b = h = a, obtemos das equações acima:

Paralelogramo. O momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo “x”