Método das Diferenças Finitas Aplicado a Casos 1D e 2D

[pic 1]

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Matheus Alves Garrido

Thiago Rodrigues

Método das Diferenças Finitas Aplicado a Casos 1D e 2D

Recife-PE

Outubro, 2017

PROBLEMA PROPOSTO 1

Descrição:

Dado um meio poroso mostrado na Figura 1, calcule as pressões em cada nó de acordo com a seguinte discretização do domínio:

[pic 2]

Figura 1. Representação do domínio do problema proposto 1.

Sendo [pic 3] a permeabilidade do bloco, neste caso, unitária ([pic 4]), [pic 5] a pressão e [pic 6] a distância entre os nós.

Resolução:

Levando em consideração que a massa é conservada no volume de controle acima, o balanço de massa é dado por:

[pic 7]

(1)

sendo [pic 8] a massa específica, t o tempo, [pic 9] o vetor de velocidade de Darcy e q o termo de fonte sumidouro.

A relação entre a velocidade de um fluido e o seu gradiente hidráulico é dada de forma linear pela Lei de Darcy:

[pic 10]

(2)

sendo [pic 11] a permeabilidade absoluta do meio, [pic 12] a viscosidade do fluido, g o módulo de aceleração gravitacional, p a pressão e z a cota vertical.

Levando em consideração as seguintes premissas simplificadoras para a solução do problema:

• O fluido é incompressível ([pic 13] );
• O meio poroso é incompressível ([pic 14]);
• Modelo unidimensional ([pic 15]);
• Não há variação da cota vertical ([pic 16] ).

Logo, a Equação 1 pode ser simplificada para:

[pic 17]	(3)
[pic 18]	(4)
[pic 19]	(5)

Dando a conservação da massa para o problema em questão. A Equação 2 também pode ser simplificada, podendo ser expressada por:

[pic 20]

(6)

Considerando a viscosidade do fluido unitária ([pic 21]), a Equação 6 pode ser reescrita:

[pic 22]

(7)

Substituindo (6) em (5), obtemos a equação geral do problema que teremos que aproximar:

[pic 23]

(8)

Não atua no domínio nenhum termo de fonte/sumidouro, logo Q=0, com as seguintes condições de contorno (c.c):

[pic 24]

(9)

Aplicando o conceito do método das diferenças finitas (MDF) centrada nos nós do bloco, teremos:

[pic 25]

(10)

Com [pic 26] e [pic 27], teremos:

[pic 28]

(11)

A Equação 11 pode ser escrita para os blocos 2, 3 e 4 do domínio:

[pic 29]

(13)

A matriz de transmissibilidade é dada por:

[pic 30]

(14)

Fazendo as seguintes operações algébricas para escalonar a matriz anterior, teremos:

 

[pic 31]

(15)

[pic 32]

(16)

[pic 33]

(18)

[pic 34]

(19)

[pic 35]

(20)

Logo, as pressões calculadas para cada nó são:

[pic 36]

---

PROBLEMA PROPOSTO 2

Descrição:

Dado um meio poroso mostrado na Figura 2, com a seguinte discretização do domínio:

[pic 37]

Figura 2. Representação do domínio do problema proposto 2.

Sendo [pic 38] e [pic 39]as permeabilidades do bloco, [pic 40] a pressão e [pic 41] a distância entre os nós ([pic 42]).

Pede-se:

• Cálculo das pressões nos nós, levando em consideração:

1. [pic 43] através da média harmônica.
2. [pic 44] através da média aritmética.
3. Demonstre que a permeabilidade média é a média harmônica.

Resolução:

        A média harmônica (MH) para obter o [pic 45] é dada pela equação 21: