Notas de Aula Sobre Vetores

Aula 3 – Vetores

Os vetores têm módulo, direção e sentido, e como exemplo podemos o deslocamento de um móvel, a velocidade e aceleração. Todas essas grandezas vetoriais. Outras grandezas tais como temperatura, massa, tempo... são grandezas que possuem apenas a magnitude e são chamadas de grandezas escalares.

Um vetor, como exemplo o deslocamento pode ser representado como na figura abaixo, sendo uma flecha denotando sua magnitude, direção e sentido. Representação: [pic 1]

[pic 2]

Propriedades dos vetores

Vetores Iguais

Dizemos que dois vetores   são iguais, se tiverem a mesma magnitude, direção e sentido. Na figura anterior os três vetores são iguais.[pic 3]

Adição de Vetores

O vetor soma ou resultante da adição dos vetores  e  é um vetor  dado por:[pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Graficamente, temos as soluções dadas pelos métodos da triangulação (a) e paralelogramo (b).

[pic 8]

Propriedade validas:

   (Comutativa)[pic 9]

   (Associatividade)[pic 10]

Vetor Negativo

O vetor negativo de  é um vetor que tem a mesma magnitude, mesma direção e sentido diferente, ou seja, um vetor .  O resultado da soma desses dos vetores é zero, ou seja:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Adicionar um vetor  com um vetor , tem o mesmo efeito da subtração de  por :[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Graficamente,

[pic 19]

Exemplo

Um carro percorre 6 km para o leste e depois 4 km em uma direção  ao norte do leste. Encontre a magnitude e a direção do carro vetor deslocamento, utilizando: (a) o método gráfico, e (b) o método analítico.[pic 20]

Solução

(a)

[pic 21]

(b) O vetor  é encontrado utilizando a lei dos cossenos observando o gráfico do item anterior. Assim,      e o ângulo  [pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 25]

E o ângulo é:

[pic 26]

[pic 27]

Componentes do vetor e vetores unitários

Componentes do vetor

Adicionar vetores graficamente não é recomendado em situações onde alta precisão é necessária ou em problemas tridimensionais. Uma forma melhor, é fazer uso das projeções de um vetor ao longo dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

Um vetor  pode ser expresso em termos da soma de seus componentes  chamados de componentes retangulares do vetor  nos eixos  e . Assim,[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

Graficamente,

[pic 34]

Das definições de seno e cosseno, tem-se:

[pic 35]

em que o sinal da  e  componentes depende do ângulo . As magnitudes  e   formam dois lados de um triângulo que tem como magnitude de uma hipotenusa. Assim, a partir de Ax e Ay temos:[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

Vetor Unitário

Um vetor unitário é um vetor que tem uma magnitude de exatamente um e aponta em uma determinada direção, e não tem nenhum outro significado físico. Os vetores unitários na direção positiva de  eixos de um sistema de coordenada são muitas vezes representados por    respectivamente (eixo positivo) ; ver Fig. abaixo. A magnitude de cada vetor unitário é igual a unidade; isto é:[pic 43][pic 44]

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