O CALCULO NUMÉRICO

CALCULO NUMÉRICO

Aula 1

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A conversão de base decimal para base binária, ou da base binária para base decimal, torna-se necessária para a verificação dos valores que uma máquina pode representar, como, por exemplo, a calculadora ou o computador.

Nas conversões de base, podem aparecer os erros de representações, que são os valores que a máquina não consegue representar, dependendo da quantidade de bit.

A primeira conversão que veremos é a da base decimal para base binária, ou seja, como um valor na base decimal é representado na base binária.

Por exemplo, como o valor (16)10 é armazenado em uma máquina de calcular ou em um computador?

Iniciamos dividindo o valor 16 por 2 e, com o resultado, fazemos uma nova divisão até que valor final não seja mais divisível por 2. Pegamos, então, o último quociente e todos os restos das operações de baixo para cima e montamos o valor da representação. Vejamos:

[pic 1]

De outra forma,

[pic 2]

O valor da (13)10 na base decimal é (1101)2.

Dessa forma, fizemos a conversão para um valor inteiro, sendo, no nosso caso, (13)10. E se o valor for fracionário?

Nesse caso, multiplicamos o valor decimal por dois e o valor decimal do resultado será novamente multiplicado por dois. Esse processo é repetido até que o valor final do produto seja igual a 1. Depois, pegamos apenas a parte inteira dos resultados debaixo para cima.

Vejamos como seria representado, por uma máquina ou um computador, o valor (0.75)10 na base binária.

[pic 3]

O valor (0.75)10 será representado por (0.11)2.

Veja que isso pode nos criar um problema, pois qual seria a representação de (0.8)10 na base decimal, na base binária?[pic 4]

Vejamos: 

O valor de (0.8)10, na base decimal, seria representado na base binária da seguinte maneira: (0.1100110011001100...)2.

Como, então, seria realmente representado na calculadora ou no computador?

A resposta é: depende do tamanho da palavra ou da quantidade de bit reservada para a mantissa.

E como seria se passarmos da representação da base binária para a base decimal?

Como qualquer número, em determinada base β, pode ser escrita na forma:

[pic 5]

Faremos o mesmo para a base binária, mas, agora, com o valor 2. Considerando o valor (1101)2, qual seria o valor na base decimal?[pic 6]

Ou seja, o valor (1101)2, na base binária, corresponde ao valor (13)10, na base decimal.

O procedimento é o mesmo quando o valor na base binária for fracionário. Lembrando que os expoentes são negativos.

Qual o valor de (0.1011)2 na base decimal?

Podemos representar o valor da seguinte forma:

[pic 7]

AULA 2: Aplicação do método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para a solução de sistemas lineares

• VIDEO 2

O método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax = b em um sistema linear equivalente c = Cx + g, ou seja, dado um sistema linear qualquer, com valores iniciais x(0) e um erro (ε) preestabelecido, podemos calcular os valores das variáveis.

[pic 8]

Primeiro, temos que verificar o critério de convergência, o qual diz o seguinte:

|a11 |≥|a12 |+|a13|
|a22 |≥|a21 |+|a23|
|a33 |≥|a31 |+|a32|

Isso nos informa que o sistema tem a diagonal dominante, o que significa que o sistema irá convergir.

Outro ponto importante é o critério de parada do método, pois trata-se de um método iterativo. Nesse caso, usaremos o critério de:

|xn — x(n — 1) | ≤ ε

O módulo da diferença da última iteração menos a anterior tem que ser menor ou igual ao erro preestabelecido.

Para aplicarmos o método, na primeira linha do sistema, isola-se a variável x1, na segunda linha, isola-se a variável x2 e, por fim, na terceira linha, isola-se a variável x3, ficando da seguinte forma:

[pic 9]

Portanto, o processo iterativo passa a ser:

[pic 10]

A primeira iteração é feita substituindo os valores iniciais nas respectivas variáveis. Caso a condição do erro seja satisfeita, para-se o processo. Caso contrário, os valores calculados são utilizados na iteração seguinte. Observe o exemplo:

[pic 11]

Os valores iniciais são x(o) = (0, 0, 0) e o erro (є) menor igual a 0.05.

Primeiramente, verificamos se o sistema tem a diagonal dominante, ou seja:

|a11 |≥|a12 |+|a13 | ou |6|≥ |-1|+|1|, satisfaz
|a22 |≥|a21 |+|a23 | ou |8|≥ |1|+|-1|, satisfaz
|a33 |≥|a31 |+|a32 | ou |5|≥ |1|+|1|, satisfaz

Logo, o sistema convergirá para uma solução. Depois, na primeira linha, isolamos a x1, na segunda linha, isolamos o x2e, finalmente, na terceira linha, isolamos o x3.

[pic 12]

Em seguida, substituímos os valores iniciais em cada variável acima para calcular os valores de x1(1), x2(1) e x3(1).