O CALCULO NUMÉRICO

Resolução de problema com o auxílio da planilha Excel

[pic 1]

1. A área A da parte sombreada, com  em radianos, é dada por:  . Se A = 3,6m² e r = 3m, para determinar o ângulo θ, a equação deve ser resolvida para θ. Desta forma, tem-se: [pic 2][pic 3]

 [pic 4]

[pic 5]

 [pic 6]

Então, pode-se escrever que  e,[pic 7]

 [pic 8]

Precisamos determinar agora o zero da função, ou seja, o ponto que corta o eixo x.

1º Passo: Localizar a raiz e definir o intervalo para em seguida refinar a raiz por métodos numéricos.

1. Construir uma tabela contendo θ e f(θ):

[pic 9]

1. Dê valores para θ, lembrando que os valores são números reais (não podem ser em graus pois na equação temos um ângulo separado da função trigonométrica). Observe que devem ser valores positivos. Conforme a abertura do ângulo representada na figura está entre 0 e pi, ou seja, entre 0 e 3,14..

x	f(x) = [pic 10]	f´(x) = [pic 11]
0	3,6	0
0,2	3,594012	-0,0897004
0,4	3,552383	-0,355225527
0,6	3,440891	-0,785989733
0,8	3,228102	-1,364819808
1	2,886619	-2,068639624
1,2	2,394176	-2,869390105
1,4	1,734524	-3,735147857
1,6	0,898081	-4,63139785
1,8	-0,11769	-5,522409426
2	-1,30816	-6,372660764
2,2	-2,66177	-7,148255028
2,4	-4,16042	-7,81827172
2,6	-5,78024	-8,35599939
2,8	-7,49255	-8,740000533
3	-9,26496	-8,954966235
3,2	-11,0627	-8,992326491

[pic 12]

1. Definimos então o intervalo que contém a raiz, em que f(a)*f(b)<0, podemos ver que f(1,6)*f(1,8)<0  ➔  0,898081 * -0,11769 <0. Observe que poderíamos escolher qualquer outro intervalo em que f(a)*f(b)<0 e não necessariamente para 1,6 e 1,8.

2º Passo: refinar a raiz por métodos numéricos, neste momento, usaremos o método da bisseção.

1. Lembrando a aula passada:

Método da Bisseção: consiste em dividir o intervalo ao meio, até uma precisão pré-estabelecida.

1. Acha-se o ponto médio, ou seja, divide-se o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se xn.
2. Então, tem-se dois sub-intervalos, [a, xn ] e [xn, b] a serem considerados. Se f(xn) = 0, então a [pic 13], caso contrário, a raiz estará no sub-intervalo onde a f(x) tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja:

Se f(a). f(xn) < 0, b assume o valor de xn.

Se f(xn). f(b) < 0, a assume o valor de xn.

No caso do exemplo anterior, se tomarmos o intervalo [a, b] → [0,5; 2,5]

Temos que f(0,5)*f(2,5) <0

[pic 14]

Se calcularmos o ponto médio xn = (0,5+2,5)/2 = 1,5 → f(xn) = f(1,5) = 1,34

Observando no gráfico verificamos o valor positivo para a função quando x = 1,5, dessa forma o novo intervalo será [1,5; 2,5].

1. Montar a tabela

n

a

b

xn = (a+b)/2

f(a)

f(b)

f(xn)

n	a	b	xn = (a+b)/2	f(a)	f(b)	f(xn)
0	0,5	2,5	1,5	3,507415	-4,95688	1,338727
1	1,5	2,5	2	1,338727	-4,95688	-1,30816
2	1,5	2	1,75	1,338727	-1,30816	0,152937
3	1,75	2	1,875	0,152937	-1,30816	-0,54411
4	1,75	1,875	1,8125	0,152937	-0,54411	-0,18706
5	1,75	1,8125	1,78125	0,152937	-0,18706	-0,01491
6	1,75	1,78125	1,765625	0,152937	-0,01491	0,069551
7	1,765625	1,78125	1,7734375	0,069551	-0,01491	0,027454
8	1,7734375	1,78125	1,77734375	0,027454	-0,01491	0,006305
9	1,77734375	1,78125	1,779296875	0,006305	-0,01491	-0,0043
10	1,77734375	1,779296875	1,778320313	0,006305	-0,0043	0,001007
11	1,778320313	1,779296875	1,778808594	0,001007	-0,0043	-0,00164
12	1,778320313	1,778808594	1,778564453	0,001007	-0,00164	-0,00032
13	1,778320313	1,778564453	1,778442383	0,001007	-0,00032	0,000344
14	1,778442383	1,778564453	1,778503418	0,000344	-0,00032	1,31E-05
15	1,778503418	1,778564453	1,778533936	1,31E-05	-0,00032	-0,00015
16	1,778503418	1,778533936	1,778518677	1,31E-05	-0,00015	-7E-05
17	1,778503418	1,778518677	1,778511047	1,31E-05	-7E-05	-2,8E-05
18	1,778503418	1,778511047	1,778507233	1,31E-05	-2,8E-05	-7,6E-06
19	1,778503418	1,778507233	1,778505325	1,31E-05	-7,6E-06	2,72E-06
20	1,778505325	1,778507233	1,778506279	2,72E-06	-7,6E-06	-2,5E-06
21	1,778505325	1,778506279	1,778505802	2,72E-06	-2,5E-06	1,31E-07
22	1,778505802	1,778506279	1,778506041	1,31E-07	-2,5E-06	-1,2E-06

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