O CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA

2.1 CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Função f(x) = x³+3x²+5x

F(x) = x³ + 3x² + 5x

S(x) = t³ + 3t² + 5t

Derivada da Velocidade

S’(t) = V(t)

S’(t) = 3t² + 6t + 5

V(t) = 3t² + 6t + 5

Derivada da Aceleração

d’v(t) = a

v(t) = 3t² + 6t + 5

v’(t) = 6t + 6

Alunos:

Gilson R. L. Junior - 8

Kaline M. Iziquiel - 4

Patrick P. Heibel - 0

Vinicius P. Dos Santos - 9

Wendel B. A. Mendes - 2

Somatoria dos Ra’s = 23

V(t) = 6t + 6

a’ = 6t + 6

26 = 6t + 6

20 = 6t

t = 3,3

2.2 S(t) = t³ + 3t² + 5t

T(s) 0 1 2 3 4 5

S(m) 0 8 30 69 132 225

S(0) = 0³ + 3*(0)² + 5*1 S(1) = 1³ + 3*1² + 5*1

S(0) = 0 m S(1) = 8 m

S(2) = 2³ + 3*2² + 5*2 S(3) = 3³ + 3*3² + 5*3

S(2) = 30 m S(3) = 69 m

S(4) = 4³ + 3*4² + 5*4 S(5) = 5³ + 3*5² + 5*5

S(4) = 132 m S(5) = 225 m

Δs = Sf – Si

Δs = 225 m

2.3 V(t) = 3t² + 6t + 5

T(s) 0 1 2 3 4 5

V(m/s) 0 14 29 50 77 110

V(0) = 3*0² + 6*0 + 5 V(1) = 3*1² + 6*1 + 5

V(0) = 5 m/s V(1) = 14 m/s

V(2) = 3*2² + 6*2 + 5 V(3) = 3*3² + 6*3 + 5

V(2) = 29 m/s V(3) = 50 m/s

V(4) = 3*4² + 6*4 + 5 V(5) = 3*5² + 6*5 + 5

V(4) = 77 m/s V(5) = 110 m/s

V = Vf – Vi

V = 110 – 5

V = 105 m/s

1º Gráfico

2º Gráfico

A = b*h/2

A = (5*105)/2

A = 525/2

A = 262,5 m²

2.4 Aceleração

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:

(aceleração média)

(aceleração instantânea)

A  dv  3t² + 6t + 5

A = 6t + 6

T(s) 0 1 2 3 4 5

A(m/s) 6 12 18 24 30 36

A(t) = 6t + 6

A(0) = 6*0 + 6 A(1) = 6*1 + 6

A(0) = 6 m/s² A(1) = 12 m/s²

A(2) = 6*2 + 6 A(3) = 6*3 + 6

A(2) = 18 m/s² A(3) = 24 m/s²

A(4) = 6*4 + 6 A(5) = 6*5 + 6

A(4) = 30 m/s² A(5) = 36 m/s²

A = b*h/2

A= (5*30)/2

A = 75 m²

3º Gráfico

2.5 Constante de Euler

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática