O Processamento Digital de Sinais

Laboratório 1

Processamento digital de sinais

Instrumentação – FEMEC41070

Prof. Dr. Márcio Peres de Souza

Aluno: Marco Aurélio Pereira Rocha

Matrícula: 11621EMC024

Problema 1

O primeiro problema consiste em analisar um sinal harmônico e sua transformada de Fourier. O sinal a ser analisado é dado pela função periódica x(t)=2*sin(2*pi*100*t), onde serão analisados 1000 pontos (n) com dt = 0.0001. Já a transformada, é calculada pela função “fft” do Matlab. A multiplicação da transformada por 2/n ocorre por conta do módulo dessa função, que aprece multiplicado por n/2, assim, esse problema é corrigido.

Para o sinal harmônico, o resultado de Xpico foi de 2 e o de T foi de 0,1 segundo. O gráfico pode ser visto abaixo.

[pic 1]

Já para a transformada de Fourier, o valor de |X| foi de 2 enquanto T ficou com 10.000 Hz, com o seguinte gráfico.

[pic 2]

Já que a função é conhecida, era esperado um pico de valor 2 em 100 Hz, indicando que a energia do sistema está toda concentrada nessa frequência. Porém, quando a transformada é aplicada, ocorre o espelhamento, então pode-se observar um outro pico com frequência de 9.900 Hz. Isso ocorre por conta do Teorema de Nyquist, que diz que se deve analisar, no mínimo, o dobro da maior frequência a ser analisada. Esse teorema é importante para evitar erros, como o de aliasing, a ser discutido posteriormente. Então, o gráfico foi plotado novamente, o valor de |X| foi de 2 enquanto T ficou com 5.000 Hz e o gráfico foi o seguinte.

[pic 3]

Problema 2

        Agora, após conseguir a janela correta, ocorreu a análise de possíveis erros, sendo os principais, vazamento e aliasing. O sinal analisado é dado pela seguinte função, de somatória de 3 senos, de amplitude 1 e frequências f1=20, f2=30.5 e f3=148, y(t)=sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t) + sin(2*pi*f3*t).

        O valor encontrado para fs foi de 256 Hz, enquanto df foi igual a 1 Hz. O gráfico em função do tempo foi plotado, e mostrado abaixo.

[pic 4]

        Pode-se observar que é um sinal complexo, não sendo possível identificar frequências, amplitudes e outro parâmetros visualmente. Então, assim como no problema 1, a transformada de Fourier foi aplicada, e o resultado foi o seguinte.

[pic 5]

        Com o valor de fs = 256 Hz, conclui-se que só é possível observar frequências de até 128 Hz (metade desse valor). O gráfico mostra alguns erros, o primeiro é que todas as amplitudes deveriam ser iguais a 1, o que não ocorre com o segundo pico. Já a última frequência, de valor 148 Hz, está posicionada em cerca de 108 Hz.

        O primeiro erro é explicado pelo valor de df, que é 1, logo, só é possível analisar de 1 em 1 Hz. Como a segunda frequência está em 30.5 Hz, ocorre a distribuição de energia próxima desse valor, chamado de erro de vazamento. Por isso a base é alargada e o pico abaixa. Para corrigir isso, deve-se diminuir o df.

        Já o segundo erro começa a ser explicado pelo Teorema de Nyquist. Como fs=256 Hz, a frequência de Nyquist é a metade desse valor, 128 Hz, e a terceira frequência está em 148 Hz, acima de 128 Hz. Ela aparece no gráfico por conta do aliasing. Esse erro é dado quando se tem poucos pontos a serem analisados, podendo formar uma curva falsa. Para evitar esse erro, deve atender ao Teorema citado acima, em que a quantidade de pontos a serem analisados deve ser, no mínimo, duas vezes o valor da maior frequência.

        A frequência de aliasing pode ser calculada pelo módulo do múltiplo inteiro mais próximo da frequência de aquisição menos a frequência analisada. Para esse caso, |1x256-148| = 108 Hz, que é a frequência do terceiro pico encontrado no gráfico.

Problema 3

        Esse problema é sobre a análise de um sinal transitório, para observar a influência do amortecimento. O sinal é dado pela função z(t) = exp (-15*t) * sin (2*π*10*t). Esse sinal diminui a amplitude com o passar do tempo representando uma vibração livre amortecida. O valor de dt encontrado foi de 9.7656 e-04 e o de fmáx, de tanto??.