Processamento Digital de Sinais Utilizando Matlab

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Universidade de São Paulo

Escola de Engenharia de São Carlos

Departamento de Engenharia Elétrica

SEL0343 – Processamento de Sinais Digitais

Trabalho 1 – Parte 1

Guilherme Cabral da Silva N°USP 9403343

1. Introdução Teórica

Para a elaboração deste trabalho, foi necessária a detenção de um conhecimento a respeito da Transformada de Fourier para tempos discretos (DTFT), junto com suas propriedades, e dos conceitos de sinais e sistemas. Com isso, será apresentada, uma resumida e objetiva, parte teórica neste trabalho.

1. Sinais e Sistemas

Um sinal pode ser definido, como uma variável mensurável que contém informações sobre algum tipo de acontecimento ou fenômeno. A partir dessa definição podem-se distinguir dois tipos de sinais: sinais de tempo contínuo e de tempo discreto.

Sinais definidos em todos os pontos do tempo são classificados como “sinais de tempo contínuo” e sinais que estão definidos apenas em certos instantes do tempo são classificados como “sinais de tempo discreto”, logo esse tipo de sinal é uma sequência de números amostrados do sinal de tempo contínuo.

Um sistema pode ser definido, como um operador que assume em sua entrada um ou mais sinais e na sua saída uma transformação desses sinais, a partir de suas peculiaridades estabelecidas antes do início do processo.

1. Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier (TF) pode ser definida como:

                (1)[pic 2]

onde  é transformada de . Essa operação nos permite avaliar a influência da variação da freqüência para o sinal temporal .[pic 3][pic 4][pic 5]

         No entanto, é necessário adaptar essa equação para uma sequência de números, ou seja, para um tempo discreto. Com isso precisa-se estabelecer uma relação entre  e amostras de  no tempo.[pic 6][pic 7]

         Antes de apresentar a relação é necessário a análise da variável . Essa variável pertence ao tempo contínuo, no entanto ela só não é zero para , logo pode-se entendê-la como a transição de  para . Essa variável pode ser obtida multiplicando  pela função impulso. Calculando a TF desta, obtém-se que:[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

        (2)[pic 13]

onde fs é a frequência de amostragem. Com isso, é possível concluir que o espectro de  pode ser obtido a partir do espectro de  e consequentemente  a partir do espectro de . Segue então que:[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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        (3)[pic 19]

        A equação acima expressa a relação de  com amostras de . No entanto o período  (Período de amostragem) não pode ser definido a partir de uma sequência de números, logo é necessário fazer uma adaptação na equação. Suponha que  e  , onde v é uma freqüência adimensional, com isso tem-se que:[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

        (4)[pic 25]

Chegando assim a equação da DTFT, que relaciona o espectro de  com amostras de . [pic 26][pic 27]

1. Análise e Apresentação dos Resultados

Para facilitar a organização e leitura deste relatório, esse tópico será separado pelos “passos” propostos no enunciado do professor.

1. Passo 1 e Passo 2

O arquivo sinal.txt possui 1024 valores referentes a amostras de um sinal. Ao ler e plotar os valores no Matlab, obteve-se o seguinte resultado:

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Gráfico 1: Plotagem do sinal em função do número da amostra

Pode-se observar que a gaussina gerada pelas amostras do sinal está centralizada no valor de amostra 512, que é a metade do total de amostras. Além disso, pode-se verificar que a amplitude máxima do sinal do espectro é 3.

1. Passo 3

Para calcular a DTFT foi necessário elaborar um código no MATLAB usando como base a própria equação da DTFT (Equação 4).

Em seguida foi requerida a plotagem do espectro de amplitude em função da freqüência , com um intervalo de freqüência contendo 3 períodos. Sendo assim obteve-se o Gráfico 2.[pic 29]

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   Gráfico 2:  Amplitude de  x Frequência [pic 31][pic 32]

1. Passo 4

Seja a freqüência de amostragem é , logo  e o intervalo de amostragem com início em . Então a partir desses dados pode-se plotar um gráfico do conjunto de amostras de  em função do tempo. Obtêm-se assim o Gráfico 3.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

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Gráfico 3: Amostras de  pelo tempo        [pic 38]

1. Passo 5

No passo 3 supomos que , para determinar a DTFT da função . No entanto se a frequência de amostragem for conhecida, pode-se determinar a Transformada de Fourier de . Basta reescalonar o eixo da freqüência multiplicando  pelo valor de . Com isso é gerado o Gráfico 4.[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

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Gráfico 4: Transformada de Fourier do sinal [pic 45]

1. Passo 6

A freqüência já está correta, no entanto ainda é necessário corrigir a amplitude, para que possa ser determinado corretamente a amplitude do sinal contínuo. Segue então, que ao corrigir a amplitude obtêm-se o Gráfico 5.

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Gráfico 5: Transformada de Fourier da função contínua [pic 47]

1. Passo 7

Inicialmente a gaussiana plotada estava deslocada para direita, logo ao calcular a DTFT e ajustar os eixos verticais e horizontais, baseado na freqüência de amostragem, gerava uma transformada complexa. Esse fato é devido a uma propriedade da Transformada de Fourier: dado um sinal real e par, ao calcular-se a transformada obtêm-se uma resposta real e par também, como a gaussiana não era par ocorreu a geração da parcela complexa.