O Projeto Oscilações no Matlab
Por: Elton Bezerra • 23/1/2020 • Trabalho acadêmico • 2.663 Palavras (11 Páginas) • 100 Visualizações
[pic 1]
FACULDADE NORDESTE
FANOR DEVRY
PROJETO ACADÊMICO
OSCILADORES (LIVRES, AMORTECIDOS E FORÇADOS)
Trabalho apresentado à disciplina de Oscilações e Vibrações, pelo aluno: Caique Arrais Bezerra de Menezes, como requisito parcial de nota de AP1.
Fortaleza - CE
Maio/ 2017
Sumário
1. OSCILADORES LIVRES 3
1.1 Análise Gráfica no MATLAB – Oscilador Livre 4
1.2 Comportamentos das Energias 5
2. OSCILADORES AMORTECIDOS 6
2.1 Amortecimento subcrítico, 𝜸<𝝎 7
2.1.1 Análise Gráfica no MATLAB 7
2.2 Amortecimento crítico, 𝜸 = 𝝎 = 𝜸𝒄 9
2.2.1 Análise Gráfica no MATLAB 10
2.3 Super amortecimento, 𝜸>𝝎 11
2.3.1 Análise Gráfica no MATLAB 11
3. OSCILADORES FORÇADOS 13
3.2.1 Análise Gráfica no MATLAB 14
4. REFERÊNCIAS 16
OSCILADORES LIVRES
A Força atuante no sistema massa mola na horizontal, ideal – sem atrito e desconsiderando a viscosidade do ar, é dado pela Equação (1), onde 𝑥0 denota a posição de equilíbrio.
[pic 2]
𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0)
Para o oscilador vertical sob a ação da gravidade teremos
𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) + 𝑚𝑔
𝐹 = −𝑘𝑥 + 𝑘𝑥0 + 𝑚g
Se consideramos que a força peso apenas desloca o sistema para uma nova posição de equilíbrio 𝑥′0, podemos simplificar adotando está nova posição como referência para nosso sistema, se tornando:
𝐹 = −𝑘𝑥
Em termos de derivadas temporais:
[pic 3]
A solução estacionária é dada por:
[pic 4]
Onde ϕ é uma constante para o deslocamento inicial em t=0 e ω é dado por:
[pic 5]
Uma oscilação por um período completo, T, equivale a deslocar a função (seno ou cosseno) em 2π, em termos matemáticos isso fornece, de modo geral:
𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑 = 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2𝜋 (8)
Isto fornece:
[pic 6]
E por fim:
[pic 7]
1.1 Análise Gráfica no MATLAB – Oscilador Livre
plot(t,x,'b') legend ('Oscilação Livre'); xlabel('TEMPO (s)'); ylabel('POSICÃO (m)'); grid on hold on |
%EQUAÇÃO DO OSCILADOR LIVRE
A = 1; % Amplitude [m]
m = 1; % massa [kg]
k = 1; % Const. Elástica [N/m]
w = sqrt(k/m); % Frequência natural de Osc.[rad/s]
delta = 0; % Fase inicial [rad]
t = 0:0.1:10; % tempo [s]
x = A*cos(w*t + delta); % Eq. Daposicao
[pic 8]
Alterando os valores de M e K:
[pic 9] [pic 10]
m= 3 kg k= 2.5 N/m
Conclusões:
Podemos extrair algumas informações importantes quanto aos resultados esperados se mudarmos algumas variáveis.
- Se m aumenta, o período T aumenta – dado a maior inércia causada pela massa maior.
- Se k aumenta, o período T diminui – dado pela maior constante de restauração.
1.2 Comportamentos das Energias
%ENERGIAS DO OSCILADOR LIVRE
plot(t,Ep,'b',t,Ec,'g',t,Em,'r'); grid on xlabel('TEMPO (s)'); ylabel('ENERGIA (j)'); grid on %hold on |
A = 1; % Amplitude [m]
m = 10; % massa [kg]
k = 1; % Const. Elástica [N/m]
w = sqrt(k/m); % Frequência natural de Osc.[rad/s]
delta = 0; % Fase inicial [rad]
t = 0:0.1:10; % tempo [s]
x = A*cos(w*t + delta); % Eq. daposicao
v =-A*w*sin(w*t + delta); % Eq. da velocidade
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