Os Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa

Exercício 5-57 (Yunnus A. Çengel 3°Ed.)

Gases quentes de combustão de um forno através de uma chaminé de concreto (k = 1,4 W/m. °C) de seção transversal retangular. A seção de fluxo da chaminé é de 20cm x 40cm e a espessura da parede é de 10cm. A temperatura média dos gases quentes na chaminé é Ti = 280°C e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção no interior da chaminé é de hi = 75W/m². °C. A chaminé perde calor a partir da sua superfície externa para o ar ambiente a T0 =15°C por convecção com um coeficiente de transferência de calor de h0 = 18W/m². °C e para o céu por radiação. A emissividade da superfície externa da parede é ε = 0,9 e a temperatura efetiva do céu é estimada em 250k.Utilizando o método das diferenças finitas com Δx = Δy = 10cm e tirando o máximo proveito de simetria, (a)obter a formulação de diferenças finitas deste problema para a transferência de calor permanente bidimensional, (b) determinar as temperaturas dos pontos nodais da seção transversal.

[pic 1]

a)

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

b)                           [pic 9][pic 10]

    [pic 11]

[pic 12]

Método de Gauss Seidel

Pela simetria do problema é possível subdividi-lo em 4 partes iguais, selecionando uma dessas partes é elaborada a malha para a resolução do problema.

Adotando uma malha de Δx = Δy = 0,05m teremos a seguinte disposição de pontos:

[pic 13]

Fazendo uso da tabela 4.2 do incropera, retiramos as equações necessárias para cada ponto.

São 27 pontos portanto 27 equações, os casos aplicados são o caso 1 para os pontos interiores, o caso 2 para os pontos nos vértices internos (ponto 17) o caso 3 para as superfícies planas e o caso 4 para o vértice externo (ponto 1).

Dessa forma, aplicando as equações no site matrixcalc.org é possível resolver a matriz pelo método de Gauss-Seidel.

A seguinte matriz é obtida:

[pic 14]

Temos então a solução:

x1	51,47178
x2	74,82987
x3	96,62787
x4	109,494
x5	115,5512
x6	118,0309
x7	118,6879
x8	74,71256
x9	113,8585
x10	153,2932
x11	173,3321
x12	181,6503
x13	184,8396
x14	185,6626
x15	96,00849
x16	152,5985
x17	229,3542
x18	248,8908
x19	252,8781
x20	254,0147
x21	254,2833
x22	107,7302
x23	171,1729
x24	248,2297
x25	111,1764
x26	176,133
x27	251,01

Os vetores encontrados são as temperaturas calculadas para cada ponto respectivamente.

...